Номер 931, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

931. Окружность с радиусом $R$ касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, высота, проведенная к этой же стороне, равна $h$ (рис. 295). Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Рис. 295

Пусть дан треугольник ABC, сторона $a = BC$, высота, опущенная на эту сторону, $h_a = h$. Окружность с радиусом $R$ касается стороны $a$ и продолжений двух других сторон — это вневписанная окружность. Её радиус обозначается $R_a$, таким образом, $R_a = R$. Радиус вписанной в треугольник окружности обозначим как $r$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для площади треугольника $S$. Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p = (a+b+c)/2$:

$$ S = p \cdot r $$

Площадь треугольника также можно выразить через радиус вневписанной окружности $R_a$, касающейся стороны $a$, и полупериметр $p$:

$$ S = (p-a) \cdot R_a $$

Приравняем правые части этих двух выражений для площади:

$$ p \cdot r = (p-a) \cdot R_a $$

Выразим полупериметр $p$ из этого соотношения:

$$ pr = pR_a - aR_a $$

$$ aR_a = pR_a - pr = p(R_a - r) $$

$$ p = \frac{a R_a}{R_a - r} $$

Теперь воспользуемся третьей формулой для площади треугольника, использующей высоту $h_a$, проведенную к стороне $a$:

$$ S = \frac{1}{2} a \cdot h_a $$

Подставим выражение для $p$ в первую формулу площади $S = p \cdot r$:

$$ S = \left( \frac{a R_a}{R_a - r} \right) \cdot r = \frac{a R_a r}{R_a - r} $$

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S$:

$$ \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{a R_a r}{R_a - r} $$

Сократим обе части на $a$ (поскольку $a \neq 0$):

$$ \frac{h_a}{2} = \frac{R_a r}{R_a - r} $$

Согласно условию задачи, $h_a = h$ и $R_a = R$. Подставим эти обозначения:

$$ \frac{h}{2} = \frac{R r}{R - r} $$

Теперь решим это уравнение относительно $r$, чтобы найти радиус вписанной окружности.

$$ h(R - r) = 2Rr $$

$$ hR - hr = 2Rr $$

Перенесем все слагаемые с $r$ в одну сторону:

$$ hR = 2Rr + hr $$

Вынесем $r$ за скобки:

$$ hR = r(2R + h) $$

Отсюда находим $r$:

$$ r = \frac{hR}{2R + h} $$

Ответ: Радиус вписанной в треугольник окружности равен $r = \frac{hR}{2R + h}$.