Номер 925, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

925. Две окружности касаются, их общие внешние касательные образуют угол $2\varphi$, расстояние между центрами равно $d$. Найдите:

а) радиусы этих окружностей;

б) площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки, в которых окружности касаются внешних касательных.

а) радиусы этих окружностей;

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. Без ограничения общности будем считать, что $r_1 \ge r_2$. Так как окружности касаются друг друга (по условию наличия общих внешних касательных — внешним образом), расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. По условию это расстояние равно $d$.

$r_1 + r_2 = d$ (1)

Общие внешние касательные пересекаются в точке $P$, которая лежит на линии центров $O_1O_2$. Эта линия является осью симметрии и делит угол $2\phi$ между касательными пополам. Таким образом, угол между каждой касательной и линией центров равен $\phi$.

Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания одной из касательных с окружностями с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ перпендикулярны этой касательной. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PO_1T_1$ и $\triangle PO_2T_2$.

Из $\triangle PO_1T_1$ имеем: $\sin(\phi) = \frac{O_1T_1}{PO_1} = \frac{r_1}{PO_1}$, откуда $PO_1 = \frac{r_1}{\sin(\phi)}$.

Из $\triangle PO_2T_2$ имеем: $\sin(\phi) = \frac{O_2T_2}{PO_2} = \frac{r_2}{PO_2}$, откуда $PO_2 = \frac{r_2}{\sin(\phi)}$.

Точки $P, O_2, O_1$ лежат на одной прямой, при этом $PO_1 = PO_2 + O_1O_2$. Подставим найденные выражения и данное расстояние $d=O_1O_2$:

$\frac{r_1}{\sin(\phi)} = \frac{r_2}{\sin(\phi)} + d$

Умножим обе части уравнения на $\sin(\phi)$ (по смыслу задачи $\phi \ne 0$):

$r_1 = r_2 + d \sin(\phi)$

$r_1 - r_2 = d \sin(\phi)$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} r_1 + r_2 = d \\ r_1 - r_2 = d \sin(\phi) \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2r_1 = d + d \sin(\phi) \Rightarrow r_1 = \frac{d(1 + \sin(\phi))}{2}$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим: $2r_2 = d - d \sin(\phi) \Rightarrow r_2 = \frac{d(1 - \sin(\phi))}{2}$.

Ответ: Радиусы окружностей равны $r_1 = \frac{d}{2}(1 + \sin(\phi))$ и $r_2 = \frac{d}{2}(1 - \sin(\phi))$.

б) площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки, в которых окружности касаются внешних касательных.

Пусть $T_1$ и $T_3$ — точки касания первой окружности (с радиусом $r_1$) с двумя внешними касательными, а $T_2$ и $T_4$ — точки касания второй окружности (с радиусом $r_2$). Искомый четырехугольник — это $T_1T_3T_4T_2$.

В силу симметрии относительно линии центров $O_1O_2$, этот четырехугольник является равнобокой трапецией. Его основаниями служат отрезки $T_1T_3$ и $T_2T_4$, которые перпендикулярны оси симметрии.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Найдем длины оснований. Основание $T_1T_3$ является хордой в первой окружности. Угол между касательными, выходящими из точки $P$, равен $2\phi$. Тогда центральный угол $\angle T_1O_1T_3 = 180^\circ - 2\phi$. Пусть $M_1$ — середина хорды $T_1T_3$. В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1M_1T_1$ угол $\angle T_1O_1M_1 = \frac{1}{2}\angle T_1O_1T_3 = 90^\circ - \phi$. Длина половины хорды $T_1M_1 = r_1 \sin(90^\circ - \phi) = r_1 \cos(\phi)$. Значит, длина основания $a = T_1T_3 = 2r_1 \cos(\phi)$.

Аналогично, для второй окружности длина основания $b = T_2T_4 = 2r_2 \cos(\phi)$.

Высота трапеции $h$ — это расстояние между основаниями $T_1T_3$ и $T_2T_4$. Это расстояние можно найти как разность расстояний от точки $P$ до этих оснований вдоль линии центров. Пусть $M_1$ и $M_2$ — точки пересечения оснований с линией центров. Высота $h = |PM_1 - PM_2|$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle PT_1O_1$ катет $PT_1 = \sqrt{PO_1^2 - r_1^2} = \sqrt{\left(\frac{r_1}{\sin\phi}\right)^2 - r_1^2} = r_1 \frac{\cos\phi}{\sin\phi} = r_1 \cot\phi$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle PT_1M_1$ (с прямым углом при $M_1$) $PM_1 = PT_1 \cos\phi = (r_1 \cot\phi)\cos\phi$.

Аналогично, $PM_2 = (r_2 \cot\phi)\cos\phi$.

Тогда высота $h = PM_1 - PM_2 = (r_1 - r_2) \cot\phi \cos\phi$.

Из пункта а) известно, что $r_1 - r_2 = d \sin(\phi)$. Подставим это выражение:

$h = (d \sin\phi) \frac{\cos\phi}{\sin\phi} \cos\phi = d \cos^2\phi$.

Теперь найдем площадь трапеции:

$S = \frac{2r_1 \cos\phi + 2r_2 \cos\phi}{2} \cdot h = (r_1 + r_2)\cos\phi \cdot h$.

Подставим $r_1 + r_2 = d$ и $h = d \cos^2\phi$:

$S = d \cos\phi \cdot (d \cos^2\phi) = d^2 \cos^3\phi$.

Ответ: $S = d^2 \cos^3\phi$.