Номер 922, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

922. Найдите радиус окружности, учитывая, что точка, отстоящая от центра на 5 см, разделяет проведенную через нее хорду на части длинами 4 см и 6 см.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Пусть $AB$ — хорда, которая проходит через точку $P$. По условию, точка $P$ отстоит от центра на 5 см, то есть расстояние $OP = 5$ см. Эта точка делит хорду $AB$ на отрезки $AP = 4$ см и $PB = 6$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд (теорема о степени точки относительно окружности). Согласно этой теореме, если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Проведем через точку $P$ и центр $O$ диаметр $CD$. Точка $P$ разделит этот диаметр на два отрезка, $CP$ и $PD$. Длина радиуса равна $R$, значит, $OC = OD = R$. Длины отрезков диаметра, на которые его делит точка $P$, можно выразить через радиус $R$ и расстояние $OP$:

Длина одного отрезка будет $R + OP$, а другого $R - OP$.

Таким образом, длины отрезков диаметра равны:

$CP = R + 5$

$PD = R - 5$

Согласно теореме о пересекающихся хордах, для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$, справедливо равенство:

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Подставим известные значения в эту формулу:

$4 \cdot 6 = (R + 5)(R - 5)$

Выполним вычисления:

$24 = R^2 - 5^2$

$24 = R^2 - 25$

Теперь найдем $R^2$:

$R^2 = 24 + 25$

$R^2 = 49$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти радиус. Поскольку радиус — это длина, его значение должно быть положительным.

$R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.