Номер 923, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

923. Окружность, диаметром которой является меньший катет прямоугольного треугольника, разделяет биссектрису прилежащего к этому катету острого угла в отношении $1 : 3$. Найдите углы треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть $BC$ — меньший катет, а $AC$ — больший катет, т.е. $BC < AC$. В прямоугольном треугольнике против меньшего катета лежит меньший острый угол, следовательно $\angle A < \angle B$.

Острый угол, прилежащий к меньшему катету $BC$, — это $\angle B$. Проведём биссектрису $BL$ этого угла (точка $L$ лежит на катете $AC$). Обозначим величину угла $\angle B$ как $2\beta$, тогда $\angle CBL = \angle ABL = \beta$.

По условию, на катете $BC$ как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает биссектрису $BL$ в точке $M$ (а также в точке $B$). Поскольку точка $M$ лежит на окружности, а $BC$ — её диаметр, вписанный угол $\angle BMC$, опирающийся на диаметр, является прямым: $\angle BMC = 90^\circ$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BCM$ (прямой угол при $M$) и $\triangle BCL$ (прямой угол при $C$).

В прямоугольном треугольнике $BCM$ катет $BM$ является прилежащим к углу $\angle CBM = \beta$, а $BC$ — гипотенузой. Отсюда получаем соотношение:$ \cos(\beta) = \frac{BM}{BC} \implies BM = BC \cdot \cos(\beta) $

В прямоугольном треугольнике $BCL$ катет $BC$ является прилежащим к углу $\angle CBL = \beta$, а $BL$ — гипотенузой. Отсюда получаем соотношение:$ \cos(\beta) = \frac{BC}{BL} \implies BC = BL \cdot \cos(\beta) $

Подставим выражение для $BC$ из второго уравнения в первое:$ BM = (BL \cdot \cos(\beta)) \cdot \cos(\beta) = BL \cdot \cos^2(\beta) $
Из этого следует, что $ \cos^2(\beta) = \frac{BM}{BL} $.

По условию, точка $M$ делит биссектрису $BL$ в отношении $1:3$. Это означает, что отношение длин отрезков $BM$ и $ML$ равно $1:3$ или $3:1$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $BM : ML = 1 : 3$.
В этом случае, если $BM = x$, то $ML = 3x$, а вся биссектриса $BL = BM + ML = 4x$. Тогда отношение $\frac{BM}{BL} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$. Подставляя в наше уравнение, получаем: $\cos^2(\beta) = \frac{1}{4}$. Отсюда $\cos(\beta) = \frac{1}{2}$ (так как $\beta$ — острый угол).Значит, $\beta = 60^\circ$. Тогда угол треугольника $\angle B = 2\beta = 120^\circ$. Это невозможно, так как в прямоугольном треугольнике острые углы должны быть меньше $90^\circ$.

Случай 2: $ML : BM = 1 : 3$ (то есть $BM : ML = 3 : 1$).
В этом случае, если $ML = x$, то $BM = 3x$, а вся биссектриса $BL = BM + ML = 4x$. Тогда отношение $\frac{BM}{BL} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$. Подставляя в наше уравнение, получаем: $\cos^2(\beta) = \frac{3}{4}$. Отсюда $\cos(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (так как $\beta$ — острый угол).Значит, $\beta = 30^\circ$.

Этот результат является допустимым. Найдём углы треугольника:
$\angle B = 2\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
$\angle C = 90^\circ$ (по условию).
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Проверим выполнение условия о меньшем катете. Мы предположили, что $BC$ — меньший катет. В найденном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$, а катет $AC$ — напротив угла $\angle B = 60^\circ$. Так как $\angle A < \angle B$, то и $BC < AC$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.