Номер 917, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

917. Расстояние между центрами окружностей с радиусами 1 см и 2 см равно 6 см. Найдите расстояние между точкой пересечения их общих внешних касательных и точкой пересечения их общих внутренних касательных.

Обозначим центры окружностей как $O_1$ и $O_2$, а их радиусы как $r_1 = 1$ см и $r_2 = 2$ см соответственно. Расстояние между центрами по условию равно $O_1O_2 = 6$ см. Точка пересечения общих внешних касательных и точка пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой, соединяющей центры окружностей ($O_1O_2$), что следует из соображений симметрии.

Нахождение точки пересечения внешних касательных

Пусть $A$ — точка пересечения общих внешних касательных. Проведем радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ к точкам касания на одной из общих внешних касательных. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $O_1T_1 \perp AT_2$ и $O_2T_2 \perp AT_2$. Таким образом, треугольники $\triangle AO_1T_1$ и $\triangle AO_2T_2$ являются прямоугольными. У них также есть общий острый угол при вершине $A$, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:

$$ \frac{AO_1}{AO_2} = \frac{O_1T_1}{O_2T_2} = \frac{r_1}{r_2} $$

Точка $A$ лежит на прямой $O_1O_2$ вне отрезка $O_1O_2$, со стороны меньшей окружности (с центром $O_1$). Таким образом, расстояние $AO_2 = AO_1 + O_1O_2$. Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{AO_1}{AO_1 + 6} = \frac{1}{2} $$

Решим это уравнение относительно $AO_1$:

$$ 2 \cdot AO_1 = AO_1 + 6 $$

$$ AO_1 = 6 \text{ см} $$

Нахождение точки пересечения внутренних касательных

Пусть $B$ — точка пересечения общих внутренних касательных. Эта точка лежит на отрезке $O_1O_2$ между центрами окружностей. Проведем радиусы $O_1S_1$ и $O_2S_2$ к точкам касания на одной из внутренних касательных. Треугольники $\triangle BO_1S_1$ и $\triangle BO_2S_2$ являются прямоугольными. Углы $\angle O_1BS_1$ и $\angle O_2BS_2$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $\triangle BO_1S_1$ и $\triangle BO_2S_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$$ \frac{BO_1}{BO_2} = \frac{O_1S_1}{O_2S_2} = \frac{r_1}{r_2} $$

Так как точка $B$ лежит на отрезке $O_1O_2$, то $O_1B + BO_2 = O_1O_2 = 6$, откуда $BO_2 = 6 - O_1B$. Подставим значения в пропорцию:

$$ \frac{O_1B}{6 - O_1B} = \frac{1}{2} $$

Решим уравнение относительно $O_1B$:

$$ 2 \cdot O_1B = 6 - O_1B $$

$$ 3 \cdot O_1B = 6 $$

$$ O_1B = 2 \text{ см} $$

Нахождение расстояния между точками пересечения

Мы определили положение точек $A$ и $B$ на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$. Точка $A$ находится на расстоянии 6 см от $O_1$ (в направлении от $O_2$), а точка $B$ находится на расстоянии 2 см от $O_1$ (в направлении к $O_2$). Таким образом, точки на прямой расположены в следующем порядке: $A - O_1 - B - O_2$.

Искомое расстояние $AB$ равно сумме расстояний $AO_1$ и $O_1B$:

$$ AB = AO_1 + O_1B = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8 \text{ см} $$

Ответ: 8 см.