Номер 915, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

915. В треугольник со стороной 2 см и периметром 8 см вписана окружность. Рис. 292

Прямая, параллельная этой стороне, касается этой окружности и пересекает боковые стороны. Найдите отрезок этой прямой, расположенный внутри треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = 2$ см, а периметр $P_{ABC} = 8$ см. В треугольник вписана окружность. Прямая, параллельная стороне $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, и касается вписанной окружности.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

Пусть вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. По условию, прямая $MN$ также касается этой окружности. Обозначим точку касания на прямой $MN$ как $T$.

Рассмотрим периметр треугольника $MBN$:

$P_{MBN} = BM + BN + MN$

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных равны. Для точки $M$ имеем $MK = MT$. Для точки $N$ имеем $NL = NT$.

Длину отрезка $MN$ можно представить в виде суммы $MT + TN$. Используя свойство касательных, получаем:

$MN = MT + TN = MK + NL$

Подставим это выражение в формулу периметра $\triangle MBN$:

$P_{MBN} = BM + BN + (MK + NL) = (BM + MK) + (BN + NL)$

Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ между вершиной $B$ и точками касания $K$ и $L$, то $BM + MK = BK$ и $BN + NL = BL$.

Следовательно, периметр малого треугольника равен:

$P_{MBN} = BK + BL$

Отрезки $BK$ и $BL$ — это отрезки касательных, проведенных из вершины $B$ к вписанной окружности. Длина такого отрезка равна разности полупериметра и длины противолежащей стороны.

Полупериметр треугольника $ABC$ равен $p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Длина стороны, противолежащей вершине $B$, — это $AC = 2$ см.

$BK = BL = p - AC = 4 - 2 = 2$ см.

Таким образом, периметр треугольника $MBN$ равен:

$P_{MBN} = 2 + 2 = 4$ см.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответственных сторон:

$\frac{P_{MBN}}{P_{ABC}} = \frac{MN}{AC}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{4}{8} = \frac{MN}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{MN}{2}$

Отсюда находим длину отрезка $MN$:

$MN = 1$ см.

Ответ: 1 см.