Номер 916, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

916. В окружность с радиусом 6 см вписан треугольник, две стороны которого равны 4 см и 9 см. Найдите высоту, проведенную к третьей стороне.

Для решения этой задачи воспользуемся двумя формулами для площади треугольника. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, две стороны равны $a=4$ см и $b=9$ см. Радиус описанной окружности $R=6$ см. Нам необходимо найти высоту $h_c$, проведенную к третьей стороне $c$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Также площадь треугольника, вписанного в окружность, можно выразить через его стороны и радиус описанной окружности $R$:

$S = \frac{abc}{4R}$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (это площадь одного и того же треугольника), мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1}{2} c \cdot h_c = \frac{abc}{4R}$

Теперь из этого равенства выразим искомую высоту $h_c$. Для этого разделим обе части уравнения на $c$ (так как длина стороны не может быть равна нулю) и умножим на 2:

$h_c = \frac{ab}{2R}$

Мы получили формулу для высоты, проведенной к третьей стороне, которая зависит только от длин двух других сторон и радиуса описанной окружности. Теперь подставим в нее известные значения из условия:

$a = 4$ см, $b = 9$ см, $R = 6$ см.

Выполним вычисления:

$h_c = \frac{4 \cdot 9}{2 \cdot 6} = \frac{36}{12} = 3$ см.

Ответ: 3 см.