Номер 914, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

914. Две окружности касаются друг друга и сторон угла. Найдите радиусы окружностей, учитывая, что расстояния от их центров до вершины угла равны $a$ и $b$.

Пусть вершина угла — точка $O$, а сам угол имеет величину $2\alpha$. Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. Обозначим центры окружностей как $O_1$ и $O_2$, а их радиусы как $r_1$ и $r_2$. Точки $O$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла.

По условию, расстояния от центров до вершины угла равны $a$ и $b$. Пусть для определенности $OO_1 = a$ и $OO_2 = b$, и предположим, что $b > a$. Это означает, что вторая окружность (с центром $O_2$) больше и находится дальше от вершины угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром окружности $O_1$, вершиной угла $O$ и точкой касания окружности со стороной угла. В этом треугольнике гипотенуза равна $OO_1 = a$, а катет, противолежащий углу $\alpha$ (половине угла $2\alpha$), равен радиусу $r_1$.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\alpha) = \frac{r_1}{OO_1} = \frac{r_1}{a}$
Аналогично для второй окружности:
$\sin(\alpha) = \frac{r_2}{OO_2} = \frac{r_2}{b}$

Из этих соотношений мы можем выразить радиусы через $a$, $b$ и $\sin(\alpha)$:
$r_1 = a \sin(\alpha)$
$r_2 = b \sin(\alpha)$

Так как окружности касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$. Поскольку центры лежат на одной прямой, выходящей из точки $O$, расстояние между ними также можно вычислить как разность расстояний от вершины угла до центров: $O_1O_2 = OO_2 - OO_1 = b - a$.

Приравниваем два выражения для $O_1O_2$:
$r_1 + r_2 = b - a$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $r_1$ и $r_2$, которые мы нашли ранее:
$a \sin(\alpha) + b \sin(\alpha) = b - a$
$(a + b) \sin(\alpha) = b - a$
Отсюда находим $\sin(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \frac{b - a}{a + b}$

Наконец, подставляем найденное значение $\sin(\alpha)$ обратно в формулы для радиусов:
$r_1 = a \sin(\alpha) = a \frac{b - a}{a + b}$
$r_2 = b \sin(\alpha) = b \frac{b - a}{a + b}$

Если бы мы предположили, что $a > b$, то получили бы $\sin(\alpha) = \frac{a - b}{a + b}$, и радиусы были бы $a \frac{a - b}{a + b}$ и $b \frac{a - b}{a + b}$. В общем виде, не зная, какое из расстояний больше, можно использовать модуль разности.

Таким образом, радиусы двух окружностей равны:
$R_a = a \frac{|a - b|}{a + b}$
$R_b = b \frac{|a - b|}{a + b}$

Ответ: $a \frac{|a - b|}{a + b}$ и $b \frac{|a - b|}{a + b}$.