Номер 909, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

909. Точки $K$, $F$ и $G$ выбраны на сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что $AK : KC = 2 : 1$, $BF = FG = GC$ (рис. 289). Найдите, в каком отношении прямые $AF$ и $AG$ разделяют отрезок $BK$.

Рис. 289

Для решения задачи воспользуемся теоремой Менелая. Пусть прямая $AF$ пересекает отрезок $BK$ в точке $P$, а прямая $AG$ пересекает отрезок $BK$ в точке $Q$. Нам необходимо найти отношения $BP:PK$ и $BQ:QK$.

Сначала подготовим отношения отрезков, которые следуют из условий задачи:

• Из условия $AK : KC = 2 : 1$ следует, что если принять $KC = x$, то $AK = 2x$, а вся сторона $AC = AK + KC = 3x$. Тогда отношение $\frac{AK}{AC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ (или $\frac{KA}{AC} = \frac{2}{3}$).
• Из условия $BF = FG = GC$ следует, что если принять $BF = y$, то $FG = GC = y$, а вся сторона $BC = BF + FG + GC = 3y$. Тогда отрезок $CF = FG + GC = 2y$, а отрезок $GB = GF + FB = 2y$.

Рассмотрим треугольник $CBK$ и секущую (трансверсаль) $APF$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $F$, сторону $BK$ в точке $P$ и продолжение стороны $CK$ в точке $A$.

По теореме Менелая для треугольника $CBK$ и секущей $APF$ справедливо соотношение:

$$ \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BP}{PK} \cdot \frac{KA}{AC} = 1 $$

Найдем значения отношений, входящих в формулу:

$$ \frac{CF}{FB} = \frac{2y}{y} = 2 $$

$$ \frac{KA}{AC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $$

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ 2 \cdot \frac{BP}{PK} \cdot \frac{2}{3} = 1 $$

$$ \frac{4}{3} \cdot \frac{BP}{PK} = 1 $$

Отсюда находим искомое отношение:

$$ \frac{BP}{PK} = \frac{3}{4} $$

Таким образом, прямая $AF$ делит отрезок $BK$ в отношении $3:4$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:4$.

Рассмотрим тот же треугольник $CBK$, но теперь с секущей (трансверсалью) $AGQ$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $G$, сторону $BK$ в точке $Q$ и продолжение стороны $CK$ в точке $A$.

По теореме Менелая для треугольника $CBK$ и секущей $AGQ$ справедливо соотношение:

$$ \frac{CG}{GB} \cdot \frac{BQ}{QK} \cdot \frac{KA}{AC} = 1 $$

Найдем значения отношений, входящих в формулу:

$$ \frac{CG}{GB} = \frac{y}{2y} = \frac{1}{2} $$

Отношение $\frac{KA}{AC} = \frac{2}{3}$ было найдено ранее.

Подставим известные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{BQ}{QK} \cdot \frac{2}{3} = 1 $$

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{BQ}{QK} = 1 $$

Отсюда находим искомое отношение:

$$ \frac{BQ}{QK} = 3 = \frac{3}{1} $$

Таким образом, прямая $AG$ делит отрезок $BK$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:1$.