Номер 902, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

902. Внутренняя точка треугольника со сторонами 7 м, 15 м и 20 м отстоит от прямых, содержащих две первые стороны, на 3 м и на 1 м соответственно (рис. 287). Найдите расстояние этой точки до прямой, проходящей через третью сторону.

Рис. 287

Обозначим стороны треугольника как $a = 7$ м, $b = 15$ м и $c = 20$ м. Пусть $P$ — внутренняя точка треугольника. Расстояние от точки $P$ до стороны $a$ равно $h_a' = 3$ м, до стороны $b$ равно $h_b' = 1$ м. Нам нужно найти расстояние до третьей стороны $c$, которое мы обозначим как $h_c'$.

Площадь всего треугольника $S$ можно представить как сумму площадей трех меньших треугольников, образованных соединением точки $P$ с вершинами исходного треугольника. Основаниями этих меньших треугольников будут стороны $a, b, c$, а высотами — расстояния $h_a', h_b', h_c'$.

Таким образом, площадь $S$ можно выразить формулой: $S = S_a + S_b + S_c = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a' + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b' + \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c'$

Сначала найдем площадь всего треугольника $S$ по формуле Герона, так как известны все три его стороны.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ м.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ м².

3. Теперь подставим все известные значения в формулу для площади через сумму площадей меньших треугольников и решим уравнение относительно $h_c'$:

$S = \frac{1}{2} a h_a' + \frac{1}{2} b h_b' + \frac{1}{2} c h_c'$
$42 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h_c'$
$42 = \frac{21}{2} + \frac{15}{2} + 10 h_c'$
$42 = 10,5 + 7,5 + 10 h_c'$
$42 = 18 + 10 h_c'$
$10 h_c' = 42 - 18$
$10 h_c' = 24$
$h_c' = \frac{24}{10} = 2,4$ м.

Ответ: 2,4 м.