Номер 898, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

898. Основание $AC$ и боковая сторона $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равны $b$ и $a$ соответственно. Прямая, параллельная $AC$, пересекает боковые стороны в точках $M$ и $N$ так, что основание $MN$ полученной трапеции равно сумме ее боковых сторон. Найдите длину отрезка $MN$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = b$ и боковые стороны $AB = BC = a$. Прямая, параллельная основанию $AC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, $MN \parallel AC$.

Поскольку $MN \parallel AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Из подобия следует, что $\triangle MBN$ также является равнобедренным с боковыми сторонами $MB = NB$.

Фигура $AMNC$ является трапецией. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, трапеция $AMNC$ также является равнобедренной, и ее боковые стороны равны: $AM = NC$.

По условию задачи, основание $MN$ полученной трапеции равно сумме ее боковых сторон:$MN = AM + NC$Учитывая, что $AM = NC$, получаем:$MN = 2 \cdot AM$

Обозначим искомую длину отрезка $MN$ как $x$. Тогда $MN = x$. Из соотношения выше, $AM = \frac{MN}{2} = \frac{x}{2}$.

Длина отрезка $MB$ может быть выражена через длину боковой стороны $AB$ и отрезка $AM$:$MB = AB - AM = a - \frac{x}{2}$

Из подобия треугольников $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$ следует пропорциональность их сторон:$\frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB}$

Подставим известные значения и выражения в эту пропорцию:$\frac{x}{b} = \frac{a - \frac{x}{2}}{a}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:$a \cdot x = b \left( a - \frac{x}{2} \right)$$ax = ab - \frac{bx}{2}$Перенесем все члены с $x$ в левую часть:$ax + \frac{bx}{2} = ab$Вынесем $x$ за скобки:$x \left( a + \frac{b}{2} \right) = ab$$x \left( \frac{2a + b}{2} \right) = ab$$x = \frac{2ab}{2a+b}$

Длина отрезка $MN$ составляет $\frac{2ab}{2a+b}$.

Ответ: $\frac{2ab}{2a+b}$