Номер 894, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

894. Основание $AC$ и боковая сторона $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равны $b$ и $a$ соответственно, $AM$ и $BN$ — биссектрисы. Найдите длину отрезка $MN$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный, с основанием $AC = b$ и боковой стороной $BC = a$. Следовательно, другая боковая сторона $AB$ также равна $a$.

Биссектриса $BN$ проведена к основанию из вершины $\angle ABC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также и медианой. Это значит, что точка $N$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, длина отрезка $NC$ составляет половину длины основания:

$NC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$

Биссектриса $AM$ проведена из угла при основании $\angle BAC$ к стороне $BC$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{b}$

Зная, что $BM + MC = BC = a$, можно выразить $BM = a - MC$. Подставим это выражение в пропорцию:

$\frac{a - MC}{MC} = \frac{a}{b}$

Решим это уравнение относительно $MC$:

$b(a - MC) = a \cdot MC$

$ab - b \cdot MC = a \cdot MC$

$ab = MC(a+b)$

$MC = \frac{ab}{a+b}$

Теперь у нас есть длины двух сторон треугольника $MCN$: $NC = \frac{b}{2}$ и $MC = \frac{ab}{a+b}$. Для нахождения длины третьей стороны $MN$ воспользуемся теоремой косинусов. Для этого нам понадобится косинус угла $\angle MCN$, который совпадает с углом при основании $\angle BCA$.

Найдем $\cos(\angle BCA)$ из основного треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle BCA)$

$a^2 = b^2 + a^2 - 2 \cdot b \cdot a \cdot \cos(\angle BCA)$

$0 = b^2 - 2ab \cos(\angle BCA)$

$\cos(\angle BCA) = \frac{b^2}{2ab} = \frac{b}{2a}$

Применим теорему косинусов к треугольнику $MCN$:

$MN^2 = MC^2 + NC^2 - 2 \cdot MC \cdot NC \cdot \cos(\angle MCN)$

Подставляем известные значения:

$MN^2 = \left(\frac{ab}{a+b}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{ab}{a+b}\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) \cdot \left(\frac{b}{2a}\right)$

Упростим выражение:

$MN^2 = \frac{a^2b^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2}{4} - \frac{2ab^3}{4a(a+b)} = \frac{a^2b^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2}{4} - \frac{b^3}{2(a+b)}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $4(a+b)^2$:

$MN^2 = \frac{4a^2b^2}{4(a+b)^2} + \frac{b^2(a+b)^2}{4(a+b)^2} - \frac{2b^3(a+b)}{4(a+b)^2}$

$MN^2 = \frac{4a^2b^2 + b^2(a^2+2ab+b^2) - 2ab^3 - 2b^4}{4(a+b)^2}$

$MN^2 = \frac{4a^2b^2 + a^2b^2 + 2ab^3 + b^4 - 2ab^3 - 2b^4}{4(a+b)^2}$

$MN^2 = \frac{5a^2b^2 - b^4}{4(a+b)^2} = \frac{b^2(5a^2 - b^2)}{4(a+b)^2}$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти длину $MN$:

$MN = \sqrt{\frac{b^2(5a^2 - b^2)}{4(a+b)^2}} = \frac{b\sqrt{5a^2 - b^2}}{2(a+b)}$

Ответ: $MN = \frac{b\sqrt{5a^2 - b^2}}{2(a+b)}$