Номер 889, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

889. В окружность вписан четырехугольник, три последовательных угла которого относятся как 9 : 7 : 3. Найдите эти углы.

Пусть углы четырехугольника, вписанного в окружность, последовательно равны $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$.

По условию, три последовательных угла относятся как $9 : 7 : 3$. Допустим, это углы $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Тогда их величины можно выразить через общий коэффициент пропорциональности $x$:
$\angle A = 9x$
$\angle B = 7x$
$\angle C = 3x$

Ключевое свойство четырехугольника, вписанного в окружность, заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, для нашего четырехугольника верны следующие равенства:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Используем первое равенство, чтобы найти $x$. Подставим в него выражения для углов $\angle A$ и $\angle C$, которые являются противолежащими:
$9x + 3x = 180^\circ$
$12x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{12}$
$x = 15^\circ$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем найти величины первых трех углов:
$\angle A = 9x = 9 \cdot 15^\circ = 135^\circ$
$\angle B = 7x = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$
$\angle C = 3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$

Чтобы найти четвертый угол $\angle D$, воспользуемся вторым равенством для другой пары противолежащих углов: $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
$105^\circ + \angle D = 180^\circ$
$\angle D = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

Таким образом, мы нашли все четыре угла четырехугольника: $135^\circ, 105^\circ, 45^\circ, 75^\circ$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные углы условиям задачи:
1. Сумма противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$; $\angle B + \angle D = 105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$. Свойство вписанного четырехугольника выполняется.
2. Отношение первых трех последовательных углов: $135 : 105 : 45$. Разделим все части отношения на 15, чтобы его сократить: $\frac{135}{15} : \frac{105}{15} : \frac{45}{15} = 9 : 7 : 3$. Условие задачи выполняется.

Ответ: $135^\circ$, $105^\circ$, $45^\circ$, $75^\circ$.