Номер 885, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

885. Три окружности касаются попарно. Расстояния между их центрами равны 8 см, 16 см и 20 см. Найдите радиусы окружностей, учитывая, что:

a) все они касаются внешним образом;

б) только две из них касаются внешним образом.

а) все они касаются внешним образом;

Пусть радиусы трех окружностей равны $r_1, r_2, r_3$.

Когда две окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Согласно условию, расстояния между центрами равны 8 см, 16 см и 20 см. Мы можем составить систему из трех линейных уравнений:

$r_1 + r_2 = 8$

$r_2 + r_3 = 16$

$r_3 + r_1 = 20$

Сложим все три уравнения:

$(r_1 + r_2) + (r_2 + r_3) + (r_3 + r_1) = 8 + 16 + 20$

$2r_1 + 2r_2 + 2r_3 = 44$

$2(r_1 + r_2 + r_3) = 44$

$r_1 + r_2 + r_3 = 22$

Теперь, чтобы найти каждый радиус, вычтем из полученного уравнения каждое из исходных уравнений системы поочередно:

$r_3 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_2) = 22 - 8 = 14$ см.

$r_1 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = 22 - 16 = 6$ см.

$r_2 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_3 + r_1) = 22 - 20 = 2$ см.

Проверим полученные значения: $r_1+r_2=6+2=8$ см, $r_2+r_3=2+14=16$ см, $r_3+r_1=14+6=20$ см. Все верно.

Ответ: радиусы окружностей равны 2 см, 6 см и 14 см.

б) только две из них касаются внешним образом.

Данное условие означает, что две окружности касаются друг друга внешним образом, а третья, большая окружность, касается этих двух внутренним образом (то есть содержит их).

Пусть радиусы двух меньших окружностей равны $r_1$ и $r_2$, а радиус большей окружности — $r_3$.

Тогда расстояния между центрами будут выражаться следующим образом:

• Расстояние между центрами двух меньших окружностей (внешнее касание): $r_1 + r_2$.
• Расстояние между центром большей и первой меньшей окружности (внутреннее касание): $r_3 - r_1$.
• Расстояние между центром большей и второй меньшей окружности (внутреннее касание): $r_3 - r_2$.

Эти три расстояния равны 8 см, 16 см и 20 см. Составим систему уравнений:

$r_1 + r_2 = d_1$

$r_3 - r_1 = d_2$

$r_3 - r_2 = d_3$

где $\{d_1, d_2, d_3\}$ — это набор значений $\{8, 16, 20\}$.

Сложив второе и третье уравнения, получим: $(r_3 - r_1) + (r_3 - r_2) = d_2 + d_3$, что дает $2r_3 - (r_1 + r_2) = d_2 + d_3$.

Подставим $r_1 + r_2 = d_1$: $2r_3 - d_1 = d_2 + d_3$. Отсюда $2r_3 = d_1 + d_2 + d_3$.

Сумма расстояний равна $8 + 16 + 20 = 44$ см. Таким образом, $2r_3 = 44$, и радиус большей окружности $r_3 = 22$ см.

Теперь рассмотрим все возможные случаи, в зависимости от того, какое расстояние соответствует внешнему касанию ($d_1$).

Случай 1: Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешне, равно 8 см ($d_1 = 8$).

Тогда $r_1 + r_2 = 8$. Остальные расстояния равны 16 и 20. Пусть $r_3 - r_1 = 16$ и $r_3 - r_2 = 20$.

Зная, что $r_3 = 22$ см, находим $r_1$ и $r_2$:

$r_1 = r_3 - 16 = 22 - 16 = 6$ см.

$r_2 = r_3 - 20 = 22 - 20 = 2$ см.

Проверка: $r_1 + r_2 = 6 + 2 = 8$ см. Решение верное. Радиусы: {2 см, 6 см, 22 см}.

Случай 2: Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешне, равно 16 см ($d_1 = 16$).

Тогда $r_1 + r_2 = 16$. Остальные расстояния равны 8 и 20. Пусть $r_3 - r_1 = 8$ и $r_3 - r_2 = 20$.

Находим $r_1$ и $r_2$ при $r_3 = 22$ см:

$r_1 = r_3 - 8 = 22 - 8 = 14$ см.

$r_2 = r_3 - 20 = 22 - 20 = 2$ см.

Проверка: $r_1 + r_2 = 14 + 2 = 16$ см. Решение верное. Радиусы: {2 см, 14 см, 22 см}.

Случай 3: Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешне, равно 20 см ($d_1 = 20$).

Тогда $r_1 + r_2 = 20$. Остальные расстояния равны 8 и 16. Пусть $r_3 - r_1 = 8$ и $r_3 - r_2 = 16$.

Находим $r_1$ и $r_2$ при $r_3 = 22$ см:

$r_1 = r_3 - 8 = 22 - 8 = 14$ см.

$r_2 = r_3 - 16 = 22 - 16 = 6$ см.

Проверка: $r_1 + r_2 = 14 + 6 = 20$ см. Решение верное. Радиусы: {6 см, 14 см, 22 см}.

Ответ: существует три возможных набора радиусов: (2 см, 6 см, 22 см), (2 см, 14 см, 22 см) или (6 см, 14 см, 22 см).