Номер 890, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

890. Три последовательные стороны четырехугольника, описанного около окружности, относятся как $1 : 4 : 5$. Найдите эти стороны, учитывая, что периметр четырехугольника равен 72 см.

Пусть четыре последовательные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны $a, b, c, d$. По условию, три последовательные стороны относятся как $1:4:5$. Пусть это будут стороны $a, b, c$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины этих сторон можно выразить как:
$a = 1 \cdot x = x$ см
$b = 4x$ см
$c = 5x$ см

Основное свойство четырехугольника, описанного около окружности (теорема Пифа), заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны: $a + c = b + d$

Используя это свойство, выразим четвертую сторону $d$ через $x$. Подставим выражения для сторон $a, b, c$:
$x + 5x = 4x + d$
$6x = 4x + d$
$d = 6x - 4x$
$d = 2x$ см

Периметр четырехугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию задачи, $P = 72$ см. Составим уравнение, используя выражения для всех четырех сторон:
$P = a + b + c + d$
$72 = x + 4x + 5x + 2x$
$72 = 12x$
$x = \frac{72}{12}$
$x = 6$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины каждой из сторон четырехугольника:
Первая сторона: $a = x = 6$ см
Вторая сторона: $b = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см
Третья сторона: $c = 5x = 5 \cdot 6 = 30$ см
Четвертая сторона: $d = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см

Таким образом, три последовательные стороны, отношение которых равно $1:4:5$, имеют длины 6 см, 24 см и 30 см. Четвертая сторона равна 12 см.

Ответ: стороны четырехугольника равны 6 см, 24 см, 30 см и 12 см.