Номер 891, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

891. Проекции боковых сторон треугольника на его основание равны 4 см и 12 см, большая из боковых сторон равна 21 см (рис. 284). Найдите, на какие части разделяет эту сторону серединный перпендикуляр к основанию.

Рис. 284

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. Тогда $AH$ и $HC$ — проекции боковых сторон $AB$ и $BC$ на основание $AC$.

Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $BCH$ по теореме Пифагора имеем:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$BC^2 = HC^2 + BH^2$

Поскольку катет $BH$ является общим для обоих треугольников, большей боковой стороне соответствует большая проекция на основание. По условию, проекции равны 4 см и 12 см, а большая боковая сторона равна 21 см. Следовательно, проекция большей стороны на основание равна 12 см.

Пусть $HC = 12$ см, тогда $BC = 21$ см. Соответственно, $AH = 4$ см.

Найдем длину основания $AC$:

$AC = AH + HC = 4 + 12 = 16$ см.

Серединный перпендикуляр к основанию $AC$ — это прямая, проходящая через середину $AC$ и перпендикулярная к $AC$. Пусть $M$ — середина основания $AC$. Тогда:

$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Пусть серединный перпендикуляр $MK$ пересекает большую сторону $BC$ в точке $K$. Так как $MK \perp AC$ и высота $BH \perp AC$, то прямые $MK$ и $BH$ параллельны ($MK \parallel BH$).

Рассмотрим треугольник $HBC$. Поскольку $MK \parallel BH$, по теореме о подобных треугольниках, треугольник $KMC$ подобен треугольнику $BHC$ ($\triangle KMC \sim \triangle BHC$).

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{KC}{BC} = \frac{MC}{HC}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{KC}{21} = \frac{8}{12}$

Выразим и найдем длину отрезка $KC$:

$KC = 21 \cdot \frac{8}{12} = 21 \cdot \frac{2}{3} = 14$ см.

Теперь найдем длину второго отрезка $BK$:

$BK = BC - KC = 21 - 14 = 7$ см.

Таким образом, серединный перпендикуляр к основанию делит большую боковую сторону на отрезки длиной 7 см и 14 см.

Ответ: 7 см и 14 см.