Номер 892, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

892. Точки $F$ и $G$ на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны так, что $AF : FB = 2 : 3$ и $FG \parallel AC$. Прямая, проведенная через точку $F$ параллельно прямой $AG$, пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите, на какие части точки $G$ и $K$ разделяют сторону $BC$ длиной $50$ см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках), которая утверждает, что если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

1. Найдем положение точки G на стороне BC.
По условию, $FG \parallel AC$. Прямые $FG$ и $AC$ параллельны и пересекают стороны угла $ABC$. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках: $\frac{BG}{GC} = \frac{BF}{FA}$

Из условия известно, что $AF : FB = 2 : 3$. Это значит, что $\frac{AF}{FB} = \frac{2}{3}$, а обратное отношение $\frac{BF}{FA} = \frac{3}{2}$. Тогда получаем $\frac{BG}{GC} = \frac{3}{2}$.

Сторона $BC$ имеет длину 50 см и состоит из отрезков $BG$ и $GC$. Пусть $BG = 3x$ и $GC = 2x$. Тогда: $BG + GC = BC$
$3x + 2x = 50$
$5x = 50$
$x = 10$ см.

Теперь можем найти длины отрезков $BG$ и $GC$:
$BG = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см.
$GC = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. Найдем положение точки K на стороне BC.
По условию, проведена прямая через точку $F$ параллельно $AG$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Таким образом, $FK \parallel AG$. Рассмотрим угол $ABG$. Параллельные прямые $FK$ и $AG$ пересекают его стороны $AB$ и $BG$. По той же теореме о пропорциональных отрезках: $\frac{BK}{KG} = \frac{BF}{FA}$

Так как $\frac{BF}{FA} = \frac{3}{2}$, то и $\frac{BK}{KG} = \frac{3}{2}$. Это означает, что точка $K$ делит отрезок $BG$ в отношении $3:2$, считая от вершины $B$.

Длина отрезка $BG$ равна 30 см. Пусть $BK = 3y$ и $KG = 2y$. Тогда: $BK + KG = BG$
$3y + 2y = 30$
$5y = 30$
$y = 6$ см.

Найдем длины отрезков $BK$ и $KG$:
$BK = 3y = 3 \cdot 6 = 18$ см.
$KG = 2y = 2 \cdot 6 = 12$ см.

3. Определим длины искомых частей.
Мы установили, что точка $K$ лежит на отрезке $BG$, значит порядок точек на стороне $BC$: $B, K, G, C$. Следовательно, точки $G$ и $K$ разделяют сторону $BC$ на три отрезка: $BK$, $KG$ и $GC$. Их длины равны: $BK = 18$ см, $KG = 12$ см, $GC = 20$ см. Проверим сумму их длин: $18 + 12 + 20 = 50$ см, что равно длине стороны $BC$.

Ответ: Точки G и K разделяют сторону BC на части длиной 18 см, 12 см и 20 см.