Номер 888, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

888. В равнобедренную трапецию с углом $30^\circ$ вписана окружность (рис. 283). Найдите ее радиус, учитывая, что средняя линия трапеции равна $20 \text{ см}$.

Рис. 283

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Угол при большем основании $\angle A = 30^\circ$.

По свойству четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $AD + BC = AB + CD$

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле: $m = \frac{AD + BC}{2}$

По условию, средняя линия равна 20 см. Отсюда мы можем найти сумму оснований: $AD + BC = 2 \cdot m = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Так как $AD + BC = AB + CD$, то $AB + CD = 40$ см. Поскольку трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Следовательно, $2 \cdot AB = 40$ см, и длина боковой стороны $AB = 20$ см.

Теперь проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ABH$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $AB = 20$ см,
• угол $\angle A = 30^\circ$,
• катет $BH$ является высотой трапеции $h$.

Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Таким образом, высота трапеции: $h = BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$, где $r$ — искомый радиус). Следовательно, радиус вписанной окружности равен половине высоты: $r = \frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.