Номер 895, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

895. На гипотенузе прямоугольного треугольника с внешней стороны построен квадрат, центр которого соединен отрезком с вершиной прямого угла. Найдите, в каком отношении этот отрезок разделяет гипотенузу, учитывая, что катеты треугольника равны:

а) 3 и 4;

б) 5 и 12 (рис. 285);

в) $m$ и $n$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $BC=m$ и $AC=n$. На гипотенузе $AB$ с внешней стороны построен квадрат, центр которого — точка $O$. Отрезок $CO$ пересекает гипотенузу в точке $P$. Требуется найти отношение, в котором точка $P$ делит гипотенузу, то есть $AP:PB$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим вершину прямого угла $C$ в начало координат $(0,0)$. Расположим катет $BC$ вдоль оси Ox, а катет $AC$ — вдоль оси Oy. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: $C(0,0)$, $B(m,0)$ и $A(0,n)$.

Теперь найдем координаты центра квадрата $O$, построенного на гипотенузе $AB$. Пусть квадрат называется $ABDE$. Вектор стороны квадрата $\vec{AB}$ имеет координаты $(m-0, 0-n) = (m, -n)$. Вектор $\vec{AD}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AB}$ и равен ему по длине. Поскольку квадрат построен с внешней стороны, то вектор $\vec{AD}$ получается из вектора $\vec{AB}$ поворотом на $90^{\circ}$ против часовой стрелки. Вектор, перпендикулярный $\vec{AB}=(m, -n)$, это $(n, m)$. Таким образом, $\vec{AD}=(n, m)$. Координаты вершины $D$ можно найти, прибавив к координатам точки $A$ вектор $\vec{AD}$:$D = A + \vec{AD} = (0, n) + (n, m) = (n, n+m)$.

Центр квадрата $O$ является серединой его диагонали $BD$. Найдем координаты точки $O$:$O = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{m + n}{2}, \frac{0 + (n+m)}{2} \right) = \left( \frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2} \right)$.

Отрезок $CO$ соединяет начало координат $C(0,0)$ и точку $O\left(\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}\right)$. Уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет вид $y=x$. Эта прямая является биссектрисой прямого угла $ACB$, образованного осями координат.

По свойству биссектрисы угла треугольника (Теорема о биссектрисе), биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $CP$ угла $C$ делит гипотенузу $AB$ в следующем отношении:$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BC}$

Так как длины катетов равны $AC=n$ и $BC=m$, то искомое отношение равно:$\frac{AP}{PB} = \frac{n}{m}$

Таким образом, отрезок, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата на гипотенузе, делит гипотенузу в том же отношении, что и отношение прилежащих катетов. Применим этот результат к конкретным случаям.

а) 3 и 4

Пусть длины катетов равны $n=3$ и $m=4$. Согласно общему решению, отрезок делит гипотенузу в отношении катетов. Следовательно, искомое отношение равно $3:4$.

Ответ: $3:4$.

б) 5 и 12 (рис. 285)

Пусть длины катетов равны $n=5$ и $m=12$. Согласно общему решению, отрезок делит гипотенузу в отношении катетов. Следовательно, искомое отношение равно $5:12$.

Ответ: $5:12$.

в) m и n

В общем случае, если катеты треугольника равны $m$ и $n$ (в задаче использованы эти буквы, но в нашем решении мы поменяли их местами для удобства: $BC=m$, $AC=n$), то, как было показано выше, отрезок делит гипотенузу в отношении $n:m$. Если принять, что первый катет равен $m$, а второй $n$, то отношение будет $m:n$.

Ответ: $m:n$.