Номер 899, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

899. Одно из оснований трапеции втрое больше другого. Через середину одной диагонали проведена прямая $l$, параллельная другой диагонали, равной 18 см. Найдите длину отрезка прямой $l$, заключенного внутри трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причём $AD || BC$. По условию, одно из оснований втрое больше другого. Пусть $AD = 3BC$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Длина диагонали $BD$ равна 18 см. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$. Через точку $M$ проведена прямая $l$, параллельная диагонали $BD$. Нам нужно найти длину отрезка прямой $l$, заключенного внутри трапеции.

1. Определим расположение отрезка прямой $l$ внутри трапеции.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Определим, находится ли точка $M$ внутри этого треугольника. Для этого воспользуемся векторным методом. Примем точку $A$ за начало координат. Тогда векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ образуют базис.

Выразим вектор $\vec{AM}$ через базисные векторы:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $AD || BC$ и $AD = 3BC$, то $\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{AD}$.

Следовательно, $\vec{AC} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD}$.

Так как $M$ — середина $AC$, то:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{6}\vec{AD}$

Коэффициенты разложения $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{6}$ положительны, и их сумма $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} < 1$. Это означает, что точка $M$ лежит внутри треугольника $ABD$.

Прямая $l$ проходит через точку $M$, лежащую внутри $\triangle ABD$, и параллельна его стороне $BD$. Следовательно, прямая $l$ пересекает две другие стороны треугольника — $AB$ и $AD$. Пусть точки пересечения — $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ полностью лежит внутри $\triangle ABD$, а значит, и внутри трапеции $ABCD$. Так как прямая может пересекать выпуклый четырехугольник не более чем в двух точках, $PQ$ и есть искомый отрезок.

2. Найдем длину отрезка $PQ$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $PQ$ параллелен стороне $BD$. Следовательно, треугольник $APQ$ подобен треугольнику $ABD$ ($\triangle APQ \sim \triangle ABD$).

Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{PQ}{BD} = \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AD}$

Чтобы найти длину $PQ$, нам нужно определить коэффициент подобия, например, $\frac{AP}{AB}$.

Рассмотрим треугольник $ABO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей. Точка $P$ лежит на стороне $AB$, а точка $M$ — на отрезке $AO$ (часть диагонали $AC$). Отрезок $PM$ является частью прямой $l$, которая параллельна $BD$. Значит, $PM || BO$.

Следовательно, треугольник $APM$ подобен треугольнику $ABO$ ($\triangle APM \sim \triangle ABO$).

Из этого подобия следует:

$\frac{AP}{AB} = \frac{AM}{AO}$

3. Найдем отношение $\frac{AM}{AO}$.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, а углы $\angle OAD$ и $\angle OCB$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AC$).

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований:

$\frac{AO}{CO} = \frac{AD}{BC} = 3$

Отсюда $AO = 3CO$. Так как $AC = AO + CO = 3CO + CO = 4CO$, то $CO = \frac{1}{4}AC$ и $AO = \frac{3}{4}AC$.

Точка $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC$.

Теперь найдем искомое отношение:

$\frac{AM}{AO} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{3}{4}AC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

4. Вычислим длину $PQ$.

Мы установили, что коэффициент подобия $\triangle APQ$ и $\triangle ABD$ равен $\frac{AP}{AB} = \frac{AM}{AO} = \frac{2}{3}$.

Следовательно,

$\frac{PQ}{BD} = \frac{2}{3}$

Подставим известную длину $BD = 18$ см:

$PQ = \frac{2}{3} \cdot BD = \frac{2}{3} \cdot 18 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Примечательно, что результат не изменится, если бы мы предположили, что $BC = 3AD$.

Ответ: 12 см.