Номер 901, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

901. Средняя линия трапеции равна 14 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см. Найдите периметр и площадь трапеции, учитывая, что ее большая диагональ образует с основанием угол, равный $arctg \ 0,75$.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны.

Из условия задачи имеем:

Средняя линия $m = 14$ см.

Боковые стороны $AB = 13$ см и $CD = 15$ см (или наоборот, это не влияет на решение).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{AD + BC}{2}$.

Отсюда сумма оснований $AD + BC = 2 \cdot m = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Периметр

Периметр трапеции P — это сумма длин всех ее сторон:

$P = AD + BC + AB + CD$

Мы уже нашли сумму оснований ($AD + BC = 28$ см) и знаем длины боковых сторон ($13$ см и $15$ см).

$P = 28 + 13 + 15 = 56$ см.

Ответ: 56 см.

Площадь

Площадь трапеции S вычисляется по формуле $S = m \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Нам нужно найти высоту.

Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Получим два прямоугольных треугольника ABH и DCK.

$BH = CK = h$.

По теореме Пифагора:

В $\triangle ABH$: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{13^2 - h^2} = \sqrt{169 - h^2}$.

В $\triangle DCK$: $DK = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{15^2 - h^2} = \sqrt{225 - h^2}$.

Заметим, что числа 13 и 15 являются гипотенузами в известных Пифагоровых тройках: (5, 12, 13) и (9, 12, 15). Можно предположить, что высота $h = 12$ см. Проверим эту гипотезу.

Если $h = 12$ см, то:

$AH = \sqrt{169 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

$DK = \sqrt{225 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Длина большего основания $AD$ связана с длиной меньшего основания $BC$ соотношением $AD = AH + HK + DK$. Поскольку $HK = BC$, то $AD = BC + 5 + 9 = BC + 14$.

Мы имеем систему уравнений для нахождения оснований:

$AD - BC = 14$

$AD + BC = 28$

Сложив эти два уравнения, получим $2 \cdot AD = 42$, откуда $AD = 21$ см.

Тогда $BC = 28 - 21 = 7$ см.

Теперь проверим условие про диагональ. Найдем длины обеих диагоналей AC и BD.

Длина диагонали $AC^2 = AK^2 + CK^2$. $AK = AD - DK = 21 - 9 = 12$ см.

$AC^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$.

Длина диагонали $BD^2 = BH^2 + HD^2$. $HD = AD - AH = 21 - 5 = 16$ см.

$BD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$. $BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как $400 > 288$, то $BD$ является большей диагональю.

Найдем тангенс угла, который большая диагональ BD образует с основанием AD. Это угол $\angle BDA$.

Из прямоугольного треугольника BHD:

$\text{tg}(\angle BDA) = \frac{BH}{HD} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0,75$.

Это в точности соответствует условию задачи. Значит, наша гипотеза была верна, и высота трапеции $h=12$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S = m \cdot h = 14 \cdot 12 = 168$ см$^2$.

Ответ: 168 см$^2$.