Номер 897, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

897. На стороне правильного треугольника выбрана точка на расстояниях $a$ и $b$ от других сторон. Найдите расстояния от нее до вершин треугольника.

Пусть дан правильный треугольник $ABC$ и точка $P$ на его стороне $BC$. По условию, расстояния от точки $P$ до двух других сторон, $AC$ и $AB$, равны $a$ и $b$. Обозначим перпендикуляры, опущенные из точки $P$ на стороны $AC$ и $AB$, как $PH_1$ и $PH_2$ соответственно. Таким образом, $PH_1 = a$ и $PH_2 = b$. Нам необходимо найти длины отрезков $PA$, $PB$ и $PC$, то есть расстояния от точки $P$ до вершин треугольника.

Сначала найдем расстояния до вершин $B$ и $C$, которые лежат на той же стороне, что и точка $P$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PH_1C$. Поскольку треугольник $ABC$ правильный, его углы равны $60^\circ$, следовательно, $\angle C = 60^\circ$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\angle C) = \frac{PH_1}{PC} \implies \sin(60^\circ) = \frac{a}{PC}$

Отсюда выразим и вычислим расстояние $PC$:

$PC = \frac{a}{\sin(60^\circ)} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}a}{3}$

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $PH_2B$. Угол $\angle B$ также равен $60^\circ$.

$\sin(\angle B) = \frac{PH_2}{PB} \implies \sin(60^\circ) = \frac{b}{PB}$

Отсюда находим расстояние $PB$:

$PB = \frac{b}{\sin(60^\circ)} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}b}{3}$

Теперь найдем расстояние до третьей, противолежащей, вершины $A$. Для этого сначала определим длину стороны $s$ треугольника $ABC$. Так как точка $P$ лежит на отрезке $BC$, то длина стороны $s$ равна сумме длин отрезков $PB$ и $PC$:

$s = BC = PB + PC = \frac{2\sqrt{3}b}{3} + \frac{2\sqrt{3}a}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}(a+b)$

Рассмотрим треугольник $ABP$. В нем известны длины двух сторон ($AB = s$ и $PB = \frac{2\sqrt{3}b}{3}$) и угол между ними ($\angle B = 60^\circ$). Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $PA$:

$PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2 \cdot AB \cdot PB \cdot \cos(60^\circ)$

Учитывая, что $\cos(60^\circ) = 1/2$, формула упрощается:

$PA^2 = s^2 + PB^2 - s \cdot PB$

Подставим ранее найденные выражения для $s$ и $PB$:

$PA^2 = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}(a+b)\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}b}{3}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}(a+b)\right) \cdot \left(\frac{2\sqrt{3}b}{3}\right)$

$PA^2 = \frac{4 \cdot 3}{9}(a+b)^2 + \frac{4 \cdot 3}{9}b^2 - \frac{4 \cdot 3}{9}b(a+b)$

Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}$ за скобки и упростим выражение:

$PA^2 = \frac{4}{3}\left[ (a+b)^2 + b^2 - b(a+b) \right]$

$PA^2 = \frac{4}{3}\left[ (a^2 + 2ab + b^2) + b^2 - ab - b^2 \right]$

$PA^2 = \frac{4}{3} (a^2 + ab + b^2)$

Наконец, извлекая квадратный корень, находим искомое расстояние $PA$:

$PA = \sqrt{\frac{4}{3}(a^2 + ab + b^2)} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2 + ab + b^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2 + ab + b^2}$

Ответ: Расстояния от точки до вершин треугольника равны $\frac{2\sqrt{3}a}{3}$, $\frac{2\sqrt{3}b}{3}$ и $\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2+ab+b^2}$.