Номер 900, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

900. Точка $K$ пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$ разделяет диагональ $AC$ на части $KA$ и $KC$, соответственно равные $3$ см и $8$ см, а диагональ $BD$ на отрезки $KB$ и $KD$, соответственно равные $4$ см и $6$ см. Найдите периметр и площадь четырехугольника $ABCD$, учитывая, что угол $ACD$ равен $\arcsin 0,6$.

Для решения задачи сначала определим свойства четырехугольника и найдем угол между его диагоналями.

1. Свойства четырехугольника.
Даны длины отрезков диагоналей: $KA = 3$ см, $KC = 8$ см, $KB = 4$ см, $KD = 6$ см. Найдем произведения отрезков каждой диагонали:$KA \cdot KC = 3 \cdot 8 = 24$$KB \cdot KD = 4 \cdot 6 = 24$Поскольку произведения отрезков пересекающихся диагоналей равны ($KA \cdot KC = KB \cdot KD$), четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность (согласно свойству пересекающихся хорд).

2. Угол между диагоналями.
Пусть $\alpha$ — угол между диагоналями, например, $\angle CKD = \alpha$. Пусть $\gamma = \angle ACD$. По условию, $\gamma = \arcsin(0,6)$, откуда следует, что $\sin \gamma = 0,6$. Поскольку функция $\arcsin$ для положительного аргумента возвращает острый угол, мы можем найти косинус этого угла:$\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CKD$. Применим к нему теорему синусов:$\frac{KD}{\sin(\angle KCD)} = \frac{KC}{\sin(\angle KDC)}$Подставим известные значения ($KD=6, KC=8, \angle KCD = \gamma$):$\frac{6}{\sin \gamma} = \frac{8}{\sin(\angle KDC)}$$\frac{6}{0,6} = \frac{8}{\sin(\angle KDC)}$$10 = \frac{8}{\sin(\angle KDC)} \Rightarrow \sin(\angle KDC) = \frac{8}{10} = 0,8$.

Сумма углов в $\triangle CKD$ равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \gamma + \angle KDC = 180^\circ$. Отсюда $\alpha = 180^\circ - (\gamma + \angle KDC)$. Найдем косинус угла $\alpha$:$\cos \alpha = \cos(180^\circ - (\gamma + \angle KDC)) = -\cos(\gamma + \angle KDC) = \sin \gamma \sin(\angle KDC) - \cos \gamma \cos(\angle KDC)$.

Мы знаем $\sin \gamma = 0,6$, $\cos \gamma = 0,8$ и $\sin(\angle KDC) = 0,8$. Для $\cos(\angle KDC)$ есть две возможности:$\cos(\angle KDC) = \sqrt{1 - 0,8^2} = 0,6$ (если $\angle KDC$ острый) или $\cos(\angle KDC) = -0,6$ (если $\angle KDC$ тупой).Рассмотрим оба случая:

• Если $\angle KDC$ острый, $\cos(\angle KDC) = 0,6$. Тогда $\cos \alpha = (0,6)(0,8) - (0,8)(0,6) = 0$. Это означает, что $\alpha = 90^\circ$.
• Если $\angle KDC$ тупой, $\cos(\angle KDC) = -0,6$. Тогда $\cos \alpha = (0,6)(0,8) - (0,8)(-0,6) = 0,48 + 0,48 = 0,96$.

Оба случая математически возможны, но случай с перпендикулярными диагоналями ($\alpha = 90^\circ$) является более стандартным для задач такого типа и приводит к более простым вычислениям. Будем использовать это решение.

Периметр

Периметр $P$ четырехугольника $ABCD$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DA$. Поскольку мы установили, что диагонали перпендикулярны ($\alpha = 90^\circ$), для нахождения длин сторон можно применить теорему Пифагора к четырем прямоугольным треугольникам, образованным диагоналями.

В $\triangle AKB$: $AB = \sqrt{KA^2 + KB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ см.

В $\triangle BKC$: $BC = \sqrt{KB^2 + KC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см.

В $\triangle CKD$: $CD = \sqrt{KC^2 + KD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ см.

В $\triangle DKA$: $DA = \sqrt{KD^2 + KA^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем периметр:$P = 5 + 4\sqrt{5} + 10 + 3\sqrt{5} = 15 + 7\sqrt{5}$ см.

Ответ: $15 + 7\sqrt{5}$ см.

Площадь

Площадь выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Длины диагоналей:$d_1 = AC = KA + KC = 3 + 8 = 11$ см.$d_2 = BD = KB + KD = 4 + 6 = 10$ см.

Угол между диагоналями $\alpha = 90^\circ$, следовательно $\sin\alpha = 1$.

Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 1 = 55$ см$^2$.

Ответ: $55$ см$^2$.