Номер 906, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

906. Основания $AD$ и $BC$ трапеции равны $a$ и $b$ соответственно. Прямая, им параллельная, пересекает боковые стороны в точках $P$ и $Q$ так, что $AP : PB = m : n$. Найдите длину отрезка $PQ$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $AD = a$, $BC = b$. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. По условию, $AP : PB = m : n$.

Для нахождения длины отрезка $PQ$ используем метод дополнительного построения.

Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$ и с отрезком $PQ$ в точке $F$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDE$. По построению $BE \parallel CD$, а по определению трапеции $BC \parallel ED$ (так как $ED$ является частью $AD$). Следовательно, $BCDE$ — параллелограмм. Из этого следует, что $BC = ED = b$ и $CD = BE$.

Аналогично, четырехугольник $QCFB$ (где $F$ на $BE$ и $Q$ на $CD$) также является параллелограммом, так как $PQ \parallel BC$ и $BE \parallel CD$. Отсюда следует, что $FQ = BC = b$.

Теперь нам нужно найти длину отрезка $PF$. Длина искомого отрезка $PQ$ будет равна сумме длин отрезков $PF$ и $FQ$: $PQ = PF + FQ$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Так как $PQ \parallel AD$, то и $PF \parallel AE$. По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса), если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне. В нашем случае, прямые $PF$ и $AE$ параллельны, значит, треугольник $PBF$ подобен треугольнику $ABE$ ($ \triangle PBF \sim \triangle ABE $).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $$ \frac{PF}{AE} = \frac{PB}{AB} $$

По условию $AP : PB = m : n$. Это значит, что $AP = k \cdot m$ и $PB = k \cdot n$ для некоторого коэффициента $k$. Тогда вся сторона $AB = AP + PB = k \cdot m + k \cdot n = k(m+n)$. Найдем отношение $\frac{PB}{AB}$: $$ \frac{PB}{AB} = \frac{k \cdot n}{k(m+n)} = \frac{n}{m+n} $$

Длина отрезка $AE$ равна разности длин оснований $AD$ и $ED$: $$ AE = AD - ED = a - b $$

Теперь подставим найденные значения в пропорцию: $$ \frac{PF}{a-b} = \frac{n}{m+n} $$ Отсюда выразим $PF$: $$ PF = \frac{n(a-b)}{m+n} $$

Наконец, найдем длину отрезка $PQ$: $$ PQ = PF + FQ = \frac{n(a-b)}{m+n} + b $$ Приведем к общему знаменателю: $$ PQ = \frac{n(a-b) + b(m+n)}{m+n} = \frac{an - bn + bm + bn}{m+n} = \frac{an + bm}{m+n} $$

Ответ: $ \frac{an + bm}{m+n} $