Номер 912, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

912. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, разделяет его на части, площади которых относятся как $1:8$. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, учитывая, что сторона, которой он параллелен, имеет длину 36 см.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямая $MN$, параллельная стороне $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Эта прямая отсекает от исходного треугольника $ABC$ малый треугольник $MBN$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, а $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон. В нашем случае: $$ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2 $$ По условию, длина стороны, которой параллельна прямая, составляет $AC = 36$ см.

Прямая $MN$ разделяет исходный треугольник на две части: треугольник $MBN$ и трапецию $AMNC$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC}$. В условии сказано, что площади этих частей относятся как $1:8$. Так как не уточнено, какая из частей меньше, необходимо рассмотреть два возможных варианта.

Вариант 1. Площадь отсеченного треугольника относится к площади трапеции как 1:8.

В этом случае $S_{MBN} : S_{AMNC} = 1:8$. Примем площадь треугольника $MBN$ за $S$, тогда площадь трапеции $AMNC$ будет равна $8S$. Площадь всего треугольника $ABC$ составляет: $$ S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC} = S + 8S = 9S $$ Теперь найдем отношение площадей малого треугольника $MBN$ и большого треугольника $ABC$: $$ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9} $$ Из соотношения площадей и сторон подобных треугольников имеем: $$ \left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \frac{1}{9} $$ Извлекая квадратный корень, получаем отношение сторон: $$ \frac{MN}{AC} = \frac{1}{3} $$ Теперь можем найти длину искомого отрезка $MN$: $$ MN = \frac{1}{3} \times AC = \frac{1}{3} \times 36 = 12 \text{ см} $$ Ответ: 12 см.

Вариант 2. Площадь трапеции относится к площади отсеченного треугольника как 1:8.

В этом случае $S_{AMNC} : S_{MBN} = 1:8$. Примем площадь трапеции $AMNC$ за $S$, тогда площадь треугольника $MBN$ будет равна $8S$. Площадь всего треугольника $ABC$ составляет: $$ S_{ABC} = S_{AMNC} + S_{MBN} = S + 8S = 9S $$ Найдем отношение площадей малого треугольника $MBN$ и большого треугольника $ABC$: $$ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{8S}{9S} = \frac{8}{9} $$ Из соотношения площадей и сторон подобных треугольников имеем: $$ \left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \frac{8}{9} $$ Извлекая квадратный корень, получаем отношение сторон: $$ \frac{MN}{AC} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ Теперь можем найти длину искомого отрезка $MN$: $$ MN = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times AC = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 36 = 2\sqrt{2} \times 12 = 24\sqrt{2} \text{ см} $$ Ответ: $24\sqrt{2}$ см.