Номер 911, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

911. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CC_1$, $H$ — точка пересечения высот. Докажите, что $AC_1 \cdot BC_1 = CC_1 \cdot HC_1$.

Для доказательства равенства $AC_1 \cdot BC_1 = CC_1 \cdot HC_1$ рассмотрим два треугольника и докажем их подобие. Преобразуем искомое равенство в пропорцию:

$\frac{AC_1}{CC_1} = \frac{HC_1}{BC_1}$

Эта пропорция следует из подобия треугольников $\triangle AC_1H$ и $\triangle CC_1B$. Докажем, что они подобны.

Проведем в треугольнике $\triangle ABC$ еще одну высоту, например, $AA_1$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $H$ является точкой пересечения высот $CC_1$ и $AA_1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AC_1H$ и $\triangle CC_1B$.

1. По определению высоты $CC_1 \perp AB$. Следовательно, $\angle AC_1H = 90^\circ$ и $\angle CC_1B = 90^\circ$. Таким образом, у этих треугольников есть по одному прямому углу.
2. Докажем равенство еще одной пары углов: $\angle C_1AH = \angle BCC_1$.

Угол $\angle C_1AH$ — это угол $\angle BAH$, так как точка $C_1$ лежит на стороне $AB$. Поскольку $H$ — ортоцентр, точка $H$ лежит на высоте $AA_1$. Значит, луч $AH$ совпадает с лучом $AA_1$. Следовательно, $\angle C_1AH = \angle BAA_1$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABA_1$ (угол $\angle AA_1B = 90^\circ$), сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle BAA_1 = 90^\circ - \angle B$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBC_1$ (угол $\angle CC_1B = 90^\circ$). Сумма его острых углов также равна $90^\circ$:

$\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B$

Таким образом, мы показали, что $\angle C_1AH = \angle BAA_1 = 90^\circ - \angle B$ и $\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B$, откуда следует, что $\angle C_1AH = \angle BCC_1$.

Поскольку треугольники $\triangle AC_1H$ и $\triangle CC_1B$ имеют по два равных угла ($\angle AC_1H = \angle CC_1B = 90^\circ$ и $\angle C_1AH = \angle BCC_1$), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия $\triangle AC_1H \sim \triangle CC_1B$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AC_1}{CC_1} = \frac{HC_1}{BC_1}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем искомое равенство:

$AC_1 \cdot BC_1 = CC_1 \cdot HC_1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC_1 \cdot BC_1 = CC_1 \cdot HC_1$ доказано.