Номер 910, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

910. Из основания $H$ высоты $AH$ треугольника $ABC$ к его сторонам $AB$ и $AC$ проведены перпендикуляры $HM$ и $HN$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $AMN$ воспользуемся признаком подобия по двум углам.

1. Рассмотрим четырехугольник $AMHN$
По условию задачи, из точки $H$ проведены перпендикуляры $HM$ к стороне $AB$ и $HN$ к стороне $AC$. Это означает, что $\angle AMH = 90^\circ$ и $\angle ANH = 90^\circ$. Рассмотрим сумму противолежащих углов четырехугольника $AMHN$:$\angle AMH + \angle ANH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, точки $A, M, H, N$ лежат на одной окружности, а четырехугольник $AMHN$ является вписанным в эту окружность. Диаметром этой окружности является отрезок $AH$.

2. Найдем равные углы
Угол $\angle A$ (или $\angle MAN$) является общим для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle AMN$.

Теперь найдем вторую пару равных углов. Так как четырехугольник $AMHN$ вписанный, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle AMN$ и $\angle AHN$ опираются на дугу $AN$. Следовательно, $\angle AMN = \angle AHN$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$ (поскольку $AH$ – высота к стороне $BC$, $\angle AHC = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$:$\angle HAC + \angle C = 90^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ANH$ (поскольку $HN \perp AC$, $\angle ANH = 90^\circ$). Сумма его острых углов также равна $90^\circ$:$\angle NAH + \angle AHN = 90^\circ$

Поскольку $\angle HAC$ и $\angle NAH$ – это один и тот же угол, из двух последних равенств следует, что $\angle C = \angle AHN$.

А так как мы ранее установили, что $\angle AMN = \angle AHN$, то получаем, что $\angle AMN = \angle C$ (то есть $\angle AMN = \angle ACB$).

3. Заключение
Мы показали, что в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle AMN$ есть две пары равных углов:

• $\angle BAC = \angle MAN$ (общий угол)
• $\angle ACB = \angle AMN$

Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle ABC$ подобен $\triangle ANM$. Это доказывает, что треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны.

Ответ: Подобие треугольников $ABC$ и $AMN$ доказано.