Номер 903, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

903. Параллелограмм $AFKG$ имеет с треугольником $ABC$ общий угол, вершина $K$ находится на стороне $BC$. Учитывая, что $AB = 20 \text{ см}$, $AC = 25 \text{ см}$ и $AF : AG = 6 : 5$, найдите стороны параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма $AFKG$ равны $AF$ и $AG$. По условию, их отношение $AF : AG = 6 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AF = 6x$ см и $AG = 5x$ см.

Поскольку $AFKG$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $GK$ параллельна стороне $AF$. Так как вершина $F$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$, то $GK \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $GKC$ и $ABC$.

1. $\angle C$ — общий.
2. $\angle CGK = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $GK$ и $AB$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольник $GKC$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($\triangle GKC \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{GC}{AC} = \frac{GK}{AB} $$

Найдем длины отрезков, входящих в эту пропорцию:

• $AC = 25$ см (по условию).
• $AB = 20$ см (по условию).
• $GK = AF = 6x$ (как противоположные стороны параллелограмма).
• $GC = AC - AG = 25 - 5x$.

Подставим эти значения в пропорцию: $$ \frac{25 - 5x}{25} = \frac{6x}{20} $$

Решим полученное уравнение: $$ \frac{5(5 - x)}{25} = \frac{6x}{20} $$ $$ \frac{5 - x}{5} = \frac{3x}{10} $$ Умножим обе части уравнения на 10: $$ 2(5 - x) = 3x $$ $$ 10 - 2x = 3x $$ $$ 10 = 5x $$ $$ x = 2 $$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма: $$ AF = 6x = 6 \cdot 2 = 12 \text{ см} $$ $$ AG = 5x = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см} $$

Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 10 см.