Номер 896, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

896. Ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ разделен на три равновеликие части прямыми, выходящими из его вершины (рис. 286). Найдите длины отрезков этих прямых, расположенных внутри ромба.

Рис. 286

Пусть дан ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$.

По условию, ромб разделен на три равновеликие части, следовательно, площадь каждой из этих частей равна $\frac{S}{3} = \frac{1}{3}a^2 \sin(\alpha)$.

Задача не уточняет, из какой вершины (острой или тупой) выходят прямые, делящие ромб. На приложенном рисунке показаны оба варианта. Рассмотрим каждый из них.

Пусть ромб обозначен как $ABCD$, где $\angle A = \alpha$ является острым углом. Прямые выходят из вершины $A$ и пересекают противоположные стороны $BC$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Ромб делится на три треугольника с равными площадями: $\triangle ABM$, $\triangle AMN$ и $\triangle ADN$.

Рассмотрим $\triangle ABM$. Его площадь можно выразить как $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin(\angle B)$.

В ромбе все стороны равны $a$, так что $AB = a$. Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \alpha$. Синус этого угла $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Приравняем известную площадь треугольника к ее формуле:

$\frac{1}{3}a^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot BM \cdot \sin(\alpha)$

Сократив обе части на $\frac{1}{2}a \sin(\alpha)$ (поскольку $\alpha$ - острый угол, $\sin(\alpha) \neq 0$), получим длину отрезка $BM$:

$BM = \frac{2}{3}a$.

Теперь мы можем найти длину искомого отрезка $AM$, применив теорему косинусов к треугольнику $\triangle ABM$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения и учтем, что $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$AM^2 = a^2 + \left(\frac{2}{3}a\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{3}a \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

$AM^2 = a^2 + \frac{4}{9}a^2 - \frac{4}{3}a^2 (-\cos(\alpha)) = \frac{9a^2 + 4a^2}{9} + \frac{4}{3}a^2 \cos(\alpha)$

$AM^2 = \frac{13}{9}a^2 + \frac{12}{9}a^2 \cos(\alpha) = \frac{a^2}{9}(13 + 12\cos(\alpha))$

Извлекая квадратный корень, находим длину $AM$:

$AM = \frac{a}{3}\sqrt{13 + 12\cos(\alpha)}$.

В силу симметрии ромба относительно диагонали $AC$, треугольник $\triangle ADN$ конгруэнтен треугольнику $\triangle ABM$. Следовательно, длина отрезка $AN$ равна длине отрезка $AM$.

Ответ: длины обоих отрезков равны $\frac{a}{3}\sqrt{13 + 12\cos(\alpha)}$.

Пусть ромб обозначен так же, $ABCD$, с острым углом $\angle A = \alpha$. Тогда $\angle B = 180^\circ - \alpha$ является тупым углом. В этом случае прямые выходят из вершины $B$ и пересекают противоположные стороны $CD$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Ромб делится на три равновеликих треугольника: $\triangle BCM$, $\triangle BMN$ и $\triangle BAN$.

Рассмотрим $\triangle BCM$. Его площадь $S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CM \cdot \sin(\angle C)$.

Сторона $BC = a$. Противоположные углы в ромбе равны, поэтому $\angle C = \angle A = \alpha$.

Приравняем площадь треугольника к одной трети площади ромба:

$\frac{1}{3}a^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot CM \cdot \sin(\alpha)$

Отсюда находим длину отрезка $CM$:

$CM = \frac{2}{3}a$.

Теперь найдем длину искомого отрезка $BM$ по теореме косинусов для $\triangle BCM$:

$BM^2 = BC^2 + CM^2 - 2 \cdot BC \cdot CM \cdot \cos(\angle C)$

Подставляем известные значения:

$BM^2 = a^2 + \left(\frac{2}{3}a\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{3}a \cdot \cos(\alpha)$

$BM^2 = a^2 + \frac{4}{9}a^2 - \frac{4}{3}a^2 \cos(\alpha) = \frac{13}{9}a^2 - \frac{12}{9}a^2 \cos(\alpha)$

$BM^2 = \frac{a^2}{9}(13 - 12\cos(\alpha))$

Извлекая квадратный корень, находим длину $BM$:

$BM = \frac{a}{3}\sqrt{13 - 12\cos(\alpha)}$.

В силу симметрии ромба относительно диагонали $BD$, треугольник $\triangle BAN$ конгруэнтен треугольнику $\triangle BCM$. Следовательно, длина отрезка $BN$ равна длине отрезка $BM$.

Ответ: длины обоих отрезков равны $\frac{a}{3}\sqrt{13 - 12\cos(\alpha)}$.