Номер 893, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

893. Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны $b$ и $a$ соответственно, точка $K$ на стороне $BC$ выбрана так, что $AK : KB = m : n$. Установите условие, при котором:

а) $\angle AKC > \angle KCB$;

б) $\angle AKC < \angle KCB$;

в) $\angle AKC = \angle KCB$.

Обозначим `∠KCB` как `∠C` и `∠ABC` как `∠B`. Угол `∠AKC` является внешним углом для треугольника `ABK`, следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: `∠AKC = ∠ABC + ∠BAK = ∠B + ∠BAK`. Таким образом, задача сводится к сравнению величины `∠B + ∠BAK` с величиной `∠C`.

Применим теорему синусов к треугольнику `ABK`: `\frac{AK}{\sin B} = \frac{KB}{\sin \angle BAK}` Отсюда получаем отношение: `\frac{AK}{KB} = \frac{\sin B}{\sin \angle BAK}`. Согласно условию задачи `AK : KB = m : n`, поэтому: `\frac{m}{n} = \frac{\sin B}{\sin \angle BAK}` Из этого соотношения выразим синус угла `∠BAK`: `\sin \angle BAK = \frac{n}{m} \sin B`

Далее, для установления условия, связывающего стороны `a` и `b` и параметры `m` и `n`, воспользуемся методом проекций. Для любого треугольника `ABC` верна формула проекции: `a = b \cos C + c \cos B`, где `c = AB`. Рассмотрим равенство `\sin(C-B) = \sin C \cos B - \cos C \sin B`. Свяжем его с нашим условием.

Это неравенство эквивалентно `∠B + ∠BAK > ∠C`, или `∠BAK > ∠C - ∠B`. При условии, что углы `∠BAK` и `∠C - ∠B` находятся в области, где синус возрастает (что обычно верно для углов треугольника), это неравенство равносильно `\sin \angle BAK > \sin(C - B)`. Подставляем найденное выражение для `\sin \angle BAK`: `\frac{n}{m} \sin B > \sin C \cos B - \cos C \sin B` Разделим обе части на `\sin B` (считая `\sin B > 0`): `\frac{n}{m} > \frac{\sin C}{\sin B} \cos B - \cos C` Используя теорему синусов для `ΔABC` (`\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}`), заменим `\frac{\sin C}{\sin B}` на `\frac{c}{b}`: `\frac{n}{m} > \frac{c}{b} \cos B - \cos C` Умножим на `b`: `\frac{bn}{m} > c \cos B - b \cos C`. Из формулы проекции `c \cos B = a - b \cos C`. Подставим это в неравенство: `\frac{bn}{m} > (a - b \cos C) - b \cos C` `\frac{bn}{m} > a - 2b \cos C` `2b \cos C > a - \frac{bn}{m}` `\cos C > \frac{a - bn/m}{2b}` `\cos C > \frac{ma - bn}{2mb}`
Ответ: `\cos(\angle KCB) > \frac{ma - bn}{2mb}`.

Это неравенство эквивалентно `∠B + ∠BAK < ∠C`, или `∠BAK < ∠C - ∠B`. Проводя аналогичные пункту а) преобразования, но с противоположным знаком неравенства, получаем: `\sin \angle BAK < \sin(C - B)` `\frac{n}{m} \sin B < \sin C \cos B - \cos C \sin B` `\frac{bn}{m} < c \cos B - b \cos C` `\frac{bn}{m} < a - 2b \cos C` `2b \cos C < a - \frac{bn}{m}` `\cos C < \frac{ma - bn}{2mb}`
Ответ: `\cos(\angle KCB) < \frac{ma - bn}{2mb}`.

Это равенство эквивалентно `∠B + ∠BAK = ∠C`, или `∠BAK = ∠C - ∠B`. Проводя те же преобразования, что и в предыдущих пунктах, но со знаком равенства, получаем: `\sin \angle BAK = \sin(C - B)` `\frac{n}{m} \sin B = \sin C \cos B - \cos C \sin B` `\frac{bn}{m} = c \cos B - b \cos C` `\frac{bn}{m} = a - 2b \cos C` `2b \cos C = a - \frac{bn}{m}` `\cos C = \frac{ma - bn}{2mb}`
Ответ: `\cos(\angle KCB) = \frac{ma - bn}{2mb}`.