Номер 887, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

887. Угол при основании равнобедренной трапеции равен $\alpha$, а угол, под которым из точки пересечения диагоналей видна боковая сторона, — $\beta$. Установите условие, при котором центр описанной около трапеции окружности находится:

Рис. 282

а) внутри трапеции;

б) вне трапеции;

в) на границе трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB=CD$. Угол при большем основании равен $\angle CDA = \alpha$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, угол, под которым из точки $O$ видна боковая сторона (например, $CD$), равен $\angle COD = \beta$.

В равнобедренной трапеции диагонали равны, и треугольники, образованные пересечением диагоналей с основаниями, являются равнобедренными. Таким образом, $\triangle AOD$ — равнобедренный с $OA=OD$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, следовательно, $\angle AOB = \beta$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ также вертикальные и равны друг другу. Сумма углов вокруг точки $O$ равна $360^\circ$, поэтому $\angle AOD + \angle BOC + \angle AOB + \angle COD = 360^\circ$. Отсюда $2\angle AOD + 2\beta = 360^\circ$, что даёт $\angle AOD = 180^\circ - \beta$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle OAD = \angle ODA = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \beta)}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, совпадает с окружностью, описанной около треугольника $\triangle ACD$. Центр этой окружности (обозначим его $K$) лежит на оси симметрии трапеции, которая является серединным перпендикуляром к основанию $AD$. Положение центра $K$ относительно трапеции (внутри, вне или на границе) определяется его положением относительно большего основания $AD$. Это положение, в свою очередь, зависит от величины угла $\angle ACD$ в треугольнике $\triangle ACD$.

Найдём углы треугольника $\triangle ACD$:

• $\angle CAD = \angle OAD = \frac{\beta}{2}$
• $\angle CDA = \alpha$
• $\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle CDA) = 180^\circ - \alpha - \frac{\beta}{2}$

Поскольку $AD$ — большее основание, угол $\alpha$ острый ($0 < \alpha < 90^\circ$). Угол $\beta$ — это угол между диагоналями, поэтому $0 < \beta < 180^\circ$, и значит $0 < \frac{\beta}{2} < 90^\circ$. Следовательно, углы $\angle CAD$ и $\angle CDA$ всегда острые. Таким образом, тип треугольника $\triangle ACD$ (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) зависит только от величины угла $\angle ACD$.

а) внутри трапеции;

Центр описанной окружности находится внутри трапеции, если он расположен между её основаниями $AD$ и $BC$. Это условие выполняется, когда треугольник $\triangle ACD$ является остроугольным. Так как углы при стороне $AD$ острые, для этого необходимо и достаточно, чтобы угол $\angle ACD$ был острым: $\angle ACD < 90^\circ$ $180^\circ - \alpha - \frac{\beta}{2} < 90^\circ$ $90^\circ < \alpha + \frac{\beta}{2}$

Ответ: $\alpha + \frac{\beta}{2} > 90^\circ$.

б) вне трапеции;

Центр описанной окружности находится вне трапеции, если он лежит по ту сторону от прямой $AD$, где не лежит трапеция. Это условие выполняется, когда треугольник $\triangle ACD$ является тупоугольным с тупым углом при вершине $C$. В этом случае центр описанной окружности будет лежать вне треугольника, по другую сторону от его наибольшей стороны $AD$. Условие того, что угол $\angle ACD$ тупой: $\angle ACD > 90^\circ$ $180^\circ - \alpha - \frac{\beta}{2} > 90^\circ$ $90^\circ > \alpha + \frac{\beta}{2}$

Ответ: $\alpha + \frac{\beta}{2} < 90^\circ$.

в) на границе трапеции.

Центр описанной окружности находится на границе трапеции, если он лежит на большем основании $AD$. Это происходит, когда треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. В этом случае гипотенузой является сторона $AD$, и центр описанной окружности совпадает с серединой $AD$. Условие того, что угол $\angle ACD$ прямой: $\angle ACD = 90^\circ$ $180^\circ - \alpha - \frac{\beta}{2} = 90^\circ$ $90^\circ = \alpha + \frac{\beta}{2}$

Ответ: $\alpha + \frac{\beta}{2} = 90^\circ$.