Номер 880, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

880. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сторона $AB$ — диаметр, сторона $CD$ вдвое короче $AB$. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.

Пусть данная окружность имеет центр в точке O и радиус $R$.

По условию, сторона AB является диаметром окружности, следовательно, ее длина $AB = 2R$.

Сторона CD вдвое короче AB, значит, ее длина $CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(2R) = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Стороны OC и OD являются радиусами окружности, поэтому $OC = R$ и $OD = R$. Поскольку длина хорды $CD$ также равна $R$, треугольник $\triangle COD$ является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, следовательно, центральный угол, опирающийся на хорду CD, равен $\angle COD = 60^\circ$.

Величина дуги, стягиваемой хордой, равна величине соответствующего центрального угла. Таким образом, угловая мера дуги CD равна $60^\circ$.

Для нахождения угла между прямыми BC и AD рассмотрим два возможных случая расположения точек C и D относительно диаметра AB.

Случай 1: Точки C и D лежат по одну сторону от диаметра AB.

В этом случае прямые AD и BC пересекаются за пределами окружности. Обозначим точку их пересечения через P. Угол между прямыми AD и BC — это угол $\angle APB$.

Согласно теореме об угле между двумя секущими, проведенными из одной точки к окружности, величина этого угла равна полуразности величин дуг, заключенных между секущими. В нашем случае это дуги AB и CD.

Дуга AB является полуокружностью, так как AB — диаметр, и ее величина составляет $180^\circ$.

Величина дуги CD, как мы установили ранее, составляет $60^\circ$.

Следовательно, искомый угол равен:

$\angle APB = \frac{1}{2}(\text{дуга } AB - \text{дуга } CD) = \frac{1}{2}(180^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2}(120^\circ) = 60^\circ$.

Случай 2: Точки C и D лежат по разные стороны от диаметра AB.

В этом случае прямые AD и BC пересекаются внутри окружности. Обозначим точку их пересечения через P. Угол между прямыми AD и BC — это, например, угол $\angle BPD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BPD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BPD = 180^\circ - \angle PBD - \angle PDB$.

Угол $\angle PDB$ совпадает с вписанным углом $\angle ADB$. Этот угол опирается на диаметр AB, следовательно, он прямой: $\angle ADB = 90^\circ$.

Угол $\angle PBD$ совпадает с вписанным углом $\angle CBD$. Этот угол опирается на дугу CD. Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Поскольку дуга CD равна $60^\circ$, то $\angle CBD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь можем найти искомый угол:

$\angle BPD = 180^\circ - \angle CBD - \angle ADB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

В обоих возможных конфигурациях угол между прямыми BC и AD оказывается равным $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.