Номер 875, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

875. Боковая сторона равнобедренного треугольника с углом при вершине в $40^\circ$ является диаметром окружности, которая точками треугольника разделяется на четыре дуги. Найдите их градусные меры.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ и углом при вершине $\angle B = 40^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$.

По условию, боковая сторона является диаметром окружности. Пусть $AB$ — диаметр окружности. Вершины $A$ и $B$ лежат на окружности. Поскольку угол $\angle ACB = 70^\circ$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, то вершина $C$ не лежит на окружности. Так как $70^\circ < 90^\circ$, точка $C$ находится вне окружности.

Окружность разделяется на четыре дуги точками треугольника. Этими точками являются вершины $A$ и $B$, а также точки пересечения окружности со сторонами $AC$ и $BC$.

Пусть $D$ — точка пересечения окружности со стороной $AC$ (отличная от $A$), а $E$ — точка пересечения окружности со стороной $BC$ (отличная от $B$). Точки $A, D, E, B$ лежат на окружности и делят её на четыре дуги.

Для нахождения градусных мер дуг используем свойство вписанных углов.

1. Рассмотрим $\triangle ABD$. Он вписан в окружность, а его сторона $AB$ — диаметр. Следовательно, $\triangle ABD$ — прямоугольный, $\angle ADB = 90^\circ$. Угол $\angle BAD$ этого треугольника является углом $\angle A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle BAD = 70^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle ABD = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. Вписанный угол $\angle ABD$ опирается на дугу $AD$. Градусная мера дуги равна удвоенному вписанному углу: $\text{◡}AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

2. Рассмотрим $\triangle ABE$. Он также вписан в окружность с диаметром $AB$, поэтому $\triangle ABE$ — прямоугольный, $\angle AEB = 90^\circ$. Угол $\angle ABE$ этого треугольника является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, то есть $\angle ABE = 40^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle BAE = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Вписанный угол $\angle BAE$ опирается на дугу $BE$. Градусная мера дуги $BE$ равна: $\text{◡}BE = 2 \cdot \angle BAE = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

3. Точки $D$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно диаметра $AB$, так как вершина $C$ лежит вне окружности. Дуги $AD, DE, BE$ вместе составляют одну полуокружность. Градусная мера полуокружности равна $180^\circ$. Таким образом, $\text{◡}AD + \text{◡}DE + \text{◡}BE = 180^\circ$. Отсюда находим градусную меру дуги $DE$:$\text{◡}DE = 180^\circ - \text{◡}AD - \text{◡}BE = 180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ$.

4. Четвертая дуга — это вторая полуокружность, стягиваемая диаметром $AB$. Её градусная мера равна $180^\circ$.

Итак, окружность разделена на четыре дуги с градусными мерами $40^\circ, 100^\circ, 40^\circ, 180^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ, 180^\circ$.