Номер 877, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

877. Расстояние между ближайшими точками двух кругов равно 11 см, а их радиусы — 3 см и 8 см (рис. 279). Найдите градусную меру угла между внутренними касательными к этим кругам.

Пусть центры кругов будут $O_1$ и $O_2$, а их радиусы $r_1 = 3$ см и $r_2 = 8$ см соответственно. Расстояние между ближайшими точками кругов равно 11 см. Эти точки лежат на линии, соединяющей центры $O_1$ и $O_2$. Следовательно, расстояние между центрами $d$ можно найти как сумму радиусов и расстояния между кругами:

$d = O_1O_2 = r_1 + r_2 + 11 = 3 + 8 + 11 = 22$ см.

Внутренние касательные к двум кругам пересекаются в точке $P$, которая лежит на отрезке $O_1O_2$. Проведем радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ к точкам касания на одной из касательных. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, поэтому треугольники $\triangle PO_1T_1$ и $\triangle PO_2T_2$ являются прямоугольными.

Эти треугольники подобны по двум углам (прямой угол и вертикальные углы при вершине $P$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{PO_1}{PO_2} = \frac{O_1T_1}{O_2T_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{8}$

Точка $P$ делит отрезок $O_1O_2$ в отношении 3:8. Мы знаем, что $PO_1 + PO_2 = O_1O_2 = 22$ см. Решим систему уравнений:

$PO_2 = \frac{8}{3}PO_1$

$PO_1 + \frac{8}{3}PO_1 = 22$

$\frac{11}{3}PO_1 = 22$

$PO_1 = \frac{22 \cdot 3}{11} = 6$ см.

Искомый угол между касательными (обозначим его $\alpha$) делится пополам линией центров $O_1O_2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PO_1T_1$. Угол $\angle T_1PO_1$ равен половине искомого угла, то есть $\frac{\alpha}{2}$. В этом треугольнике катет $O_1T_1$ (противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$) равен $r_1 = 3$ см, а гипотенуза $PO_1 = 6$ см.

Найдем синус этого угла:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{O_1T_1}{PO_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\frac{\alpha}{2} = 30^\circ$.

Тогда полный угол между касательными равен:

$\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.