Номер 876, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

876. Хорды, являющиеся сторонами вписанного в окружность угла, разделяют окружность на дуги в отношении 2 : 7 и 5 : 13. Найдите градусную меру этого угла.

Пусть искомый вписанный угол — это $\angle ABC$. Его стороны — это хорды $AB$ и $BC$. По свойству вписанных углов, градусная мера угла $\angle ABC$ равна половине градусной меры дуги $\smallsmile AC$, на которую он опирается.

Условие задачи означает, что одна хорда, являющаяся стороной угла (например, $AB$), делит окружность на дуги в отношении $2:7$, а вторая хорда ($BC$) — в отношении $5:13$. Найдем градусные меры меньших дуг, стягиваемых этими хордами, так как хорды являются сторонами угла, а не диаметрами.

1. Найдем градусную меру дуги $\smallsmile AB$.
Вся окружность составляет $360^\circ$. Хорда $AB$ делит ее на дуги в отношении $2:7$. Сумма частей равна $2+7=9$.
Градусная мера одной части: $360^\circ / 9 = 40^\circ$.
Градусная мера меньшей дуги $\smallsmile AB$ составляет 2 части: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

2. Найдем градусную меру дуги $\smallsmile BC$.
Хорда $BC$ делит окружность на дуги в отношении $5:13$. Сумма частей равна $5+13=18$.
Градусная мера одной части: $360^\circ / 18 = 20^\circ$.
Градусная мера меньшей дуги $\smallsmile BC$ составляет 5 частей: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

3. Найдем градусную меру дуги $\smallsmile AC$.
Точки $A$, $B$ и $C$ делят всю окружность на три дуги: $\smallsmile AB$, $\smallsmile BC$ и $\smallsmile AC$. Сумма их градусных мер равна $360^\circ$. Дуга $\smallsmile AC$ является дугой, на которую опирается искомый угол. Ее градусная мера равна:
$\text{дуга } \smallsmile AC = 360^\circ - (\text{дуга } \smallsmile AB + \text{дуга } \smallsmile BC)$
$\text{дуга } \smallsmile AC = 360^\circ - (80^\circ + 100^\circ) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

4. Найдем градусную меру вписанного угла $\angle ABC$.
Угол равен половине дуги, на которую он опирается:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } \smallsmile AC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.