Номер 873, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

873. В круг с радиусом 24 см вписано 6 равных кругов, каждый из которых касается двух соседних (рис. 278). Найдите:

а) радиус меньшего круга;

б) расстояния между центрами двух не соседних меньших кругов.

Рис. 278

а) радиус меньшего круга;

Пусть $R$ — радиус большого круга, а $r$ — радиус одного из малых кругов. По условию задачи, $R = 24$ см.
Обозначим центр большого круга как $O$, а центры шести малых кругов как $O_1, O_2, \dots, O_6$. Так как все малые круги равны и вписаны симметрично, их центры образуют правильный шестиугольник, вписанный в некоторую окружность с центром $O$.
Рассмотрим треугольник, образованный центром большого круга $O$ и центрами двух соседних малых кругов, например, $O_1$ и $O_2$. Получим треугольник $\triangle OO_1O_2$.
Поскольку малые круги касаются большого круга изнутри, расстояние от центра большого круга $O$ до центра любого малого круга $O_i$ равно разности их радиусов:
$OO_1 = OO_2 = R - r$.
Так как соседние малые круги касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:
$O_1O_2 = r + r = 2r$.
Центральный угол, опирающийся на сторону правильного шестиугольника, равен $\angle O_1OO_2 = 360^\circ / 6 = 60^\circ$.
Треугольник $\triangle OO_1O_2$ является равнобедренным, так как $OO_1 = OO_2$. Угол при вершине этого треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним, и все его стороны равны.
$OO_1 = O_1O_2$
Подставим выражения через $R$ и $r$:
$R - r = 2r$
$R = 3r$
Отсюда можем найти радиус меньшего круга $r$:
$r = \frac{R}{3} = \frac{24}{3} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б) расстояния между центрами двух не соседних меньших кругов.

Центры малых кругов $O_1, O_2, \dots, O_6$ образуют правильный шестиугольник со стороной $a = O_1O_2 = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см. Расстояние от центра шестиугольника $O$ до любой его вершины $O_i$ равно $OO_i = R - r = 24 - 8 = 16$ см. Таким образом, сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, что является свойством правильного шестиугольника.
Существует два типа расстояний между центрами не соседних кругов:
1. Расстояние между центрами, разделенными одним кругом (например, между $O_1$ и $O_3$). Это расстояние равно длине малой диагонали правильного шестиугольника.
Рассмотрим треугольник $\triangle OO_1O_3$. В нем стороны $OO_1 = OO_3 = 16$ см. Угол между ними $\angle O_1OO_3$ равен сумме двух центральных углов, то есть $\angle O_1OO_3 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
По теореме косинусов для $\triangle OO_1O_3$:
$d_1^2 = O_1O_3^2 = OO_1^2 + OO_3^2 - 2 \cdot OO_1 \cdot OO_3 \cdot \cos(120^\circ)$
$d_1^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot (-\frac{1}{2}) = 256 + 256 + 256 = 3 \cdot 256$
$d_1 = \sqrt{3 \cdot 256} = 16\sqrt{3}$ см.
2. Расстояние между центрами, расположенными диаметрально противоположно (например, между $O_1$ и $O_4$). Это расстояние равно длине большой диагонали правильного шестиугольника.
Большая диагональ проходит через центр $O$ и равна удвоенному расстоянию от центра $O$ до вершины шестиугольника:
$d_2 = O_1O_4 = O_1O + OO_4 = (R - r) + (R - r) = 2(R-r)$
$d_2 = 2 \cdot (24 - 8) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см и 32 см.