Номер 867, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

867. Найдите радиус круга, в котором две взаимно перпендикулярные хорды разделяют друг друга на отрезки длинами 7 см и 17 см.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $P$.

По условию, хорды делят друг друга на отрезки длинами 7 см и 17 см. Это означает, что каждая хорда делится точкой пересечения на два отрезка указанных длин. Пусть $AP = 7$ см и $PB = 17$ см, а также $CP = 7$ см и $PD = 17$ см. Отметим, что по свойству пересекающихся хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$. В нашем случае $7 \cdot 17 = 7 \cdot 17$, так что условие корректно.

Длина каждой хорды равна сумме длин ее сегментов:
$AB = AP + PB = 7 + 17 = 24$ см.
$CD = CP + PD = 7 + 17 = 24$ см.

Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляры $OM$ к хорде $AB$ и $ON$ к хорде $CD$. По свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам. Следовательно, точки $M$ и $N$ являются серединами хорд $AB$ и $CD$ соответственно.

Найдем длины половин хорд:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Рассмотрим четырехугольник $OMPN$. Так как $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$, а по условию $AB \perp CD$, то все углы этого четырехугольника прямые ($\angle OMP = \angle MPN = \angle PNO = 90^\circ$), следовательно, $OMPN$ является прямоугольником.

Длины сторон этого прямоугольника равны расстояниям от точки пересечения хорд $P$ до середин хорд $M$ и $N$.
Длина отрезка $MP$ равна модулю разности длин отрезков $AM$ и $AP$: $MP = |AM - AP| = |12 - 7| = 5$ см. Так как $OMPN$ - прямоугольник, то $ON = MP = 5$ см.
Длина отрезка $NP$ равна модулю разности длин отрезков $CN$ и $CP$: $NP = |CN - CP| = |12 - 7| = 5$ см. Так как $OMPN$ - прямоугольник, то $OM = NP = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$. Его катеты — это $OM$ (расстояние от центра до хорды $AB$) и $MB$ (половина хорды $AB$), а гипотенуза — $OB$ (радиус окружности $R$).

По теореме Пифагора:
$R^2 = OB^2 = OM^2 + MB^2$

Подставим найденные значения:
$R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.