Номер 864, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

864. Касательные $l_1$ и $l_2$ к окружности с центром $O$ пересекает в точках $A$ и $B$ третья касательная $l$ (рис. 274). Докажите, что величина угла $AOB$ не зависит от того, как проведена касательная $l$.

Рис. 274

Пусть касательные $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $C$. Поскольку эти касательные зафиксированы, то угол $\angle C$ между ними является постоянной величиной (константой). Касательная $l$ пересекает $l_1$ и $l_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, образуя треугольник $ABC$.

Центр окружности $O$ равноудален от касательных. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными.

Для точки $A$ касательными являются прямые $l_1$ (содержащая сторону $AC$) и $l$ (содержащая сторону $AB$). Следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $\angle CAB$. Это означает, что $\angle OAB = \frac{1}{2} \angle CAB$.

Аналогично, для точки $B$ касательными являются прямые $l_2$ (содержащая сторону $BC$) и $l$ (содержащая сторону $AB$). Следовательно, луч $BO$ является биссектрисой угла $\angle CBA$. Это означает, что $\angle OBA = \frac{1}{2} \angle CBA$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:$
$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$
Выразим из этого равенства угол $\angle AOB$:$
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)$

Подставим выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$, полученные из свойства биссектрис:$
$\angle AOB = 180^\circ - (\frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle CBA) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA)$

Из треугольника $ABC$ известно, что сумма его внутренних углов также равна $180^\circ$:$
$\angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^\circ$
Отсюда выразим сумму двух углов:$
$\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ - \angle C$

Подставим это выражение в формулу для $\angle AOB$:$
$\angle AOB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle C)$
$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C$
$\angle AOB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C$

Так как угол $\angle C$ между фиксированными касательными $l_1$ и $l_2$ является постоянной величиной, то и величина угла $\angle AOB$ также является постоянной. Она зависит только от угла между исходными касательными, а не от положения третьей касательной $l$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Величина угла $AOB$ не зависит от того, как проведена касательная $l$, так как она равна $90^\circ + \frac{1}{2}\gamma$, где $\gamma$ — постоянный угол между касательными $l_1$ и $l_2$.