Номер 865, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

865. Каждая из окружностей с центрами $K$, $L$ и $M$ касается одной из сторон и продолжений двух других сторон треугольника $ABC$, $P$ и $O$ — центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, описанных около треугольников $KLM$ и $ABC$, $Q$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности (рис. 275). Докажите, что:

а) точка $O$ — середина отрезка $PQ$;

б) радиус окружности $\omega_1$ вдвое больше радиуса окружности $\omega_2$.

Рис. 275

Обозначим треугольник, образованный центрами вневписанных окружностей $K, L, M$, как $\triangle KLM$. Точка $Q$ — центр вписанной окружности (инцентр) $\triangle ABC$. Точка $P$ — центр описанной окружности $\omega_1$ для $\triangle KLM$. Точка $O$ — центр описанной окружности $\omega_2$ для $\triangle ABC$.

Для решения задачи установим ключевые геометрические факты, связывающие эти объекты.

1. Точка Q является ортоцентром треугольника KLM.

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и двух внешних углов треугольника. Инцентр лежит на пересечении трех внутренних биссектрис.

Рассмотрим прямую $QL$. Точка $Q$ (инцентр) и точка $L$ (центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$) обе лежат на биссектрисе внутреннего угла $\angle A$ треугольника $ABC$. Следовательно, прямая $QL$ является биссектрисой угла $\angle A$.

Рассмотрим прямую $KM$. Точка $K$ (центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$) и точка $M$ (центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$) обе лежат на биссектрисе внешнего угла при вершине $A$. Следовательно, прямая $KM$ является биссектрисой внешнего угла $\angle A$.

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине перпендикулярны. Таким образом, $QL \perp KM$. Это означает, что $QL$ — высота треугольника $KLM$, проведенная из вершины $L$.

Аналогично доказывается, что $QM \perp KL$ (как внутренняя и внешняя биссектрисы угла $\angle B$) и $QK \perp LM$ (как внутренняя и внешняя биссектрисы угла $\angle C$).

Так как прямые $QL, QM, QK$ являются высотами треугольника $KLM$, то их точка пересечения $Q$ является его ортоцентром.

2. Треугольник ABC является ортотреугольником для треугольника KLM.

Ортотреугольник — это треугольник, вершинами которого являются основания высот исходного треугольника.

Основание высоты из вершины $L$ на сторону $KM$ — это точка пересечения высоты $QL$ и стороны $KM$. Мы установили, что $QL$ — это внутренняя биссектриса угла $\angle A$, а $KM$ — это внешняя биссектриса угла $\angle A$. Они пересекаются в вершине $A$ треугольника $ABC$.

Таким образом, точка $A$ — основание высоты, проведенной из вершины $L$. Аналогично, точка $B$ — основание высоты из вершины $M$, а точка $C$ — основание высоты из вершины $K$.

Следовательно, $\triangle ABC$ является ортотреугольником для $\triangle KLM$.