Номер 861, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

861. Через середину $M$ дуги $PQ$ окружности проведены прямые $MA$ и $MB$, пересекающие отрезок $PQ$ в точках $D$ и $C$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ можно вписать в окружность.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ можно вписать в окружность, достаточно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Докажем, что $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle DAB$. Поскольку точка $D$ лежит на прямой $MA$, угол $\angle DAB$ совпадает с углом $\angle MAB$. Точки $M, A, B$ лежат на исходной окружности, следовательно, угол $\angle MAB$ является вписанным. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угол $\angle MAB$ опирается на дугу $MB$. Таким образом:

$\angle DAB = \angle MAB = \frac{1}{2} \smile MB$

Дугу $MB$ можно представить как сумму дуг $MQ$ и $QB$ (в зависимости от расположения точек, но для общности рассуждений это не повлияет на результат). Тогда:

$\angle DAB = \frac{1}{2} (\smile MQ + \smile QB)$

Теперь рассмотрим угол $\angle BCD$. Этот угол является внутренним углом четырехугольника $ABCD$. Он смежен с углом $\angle BCP$, так как точки $P, C, D$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BCP$

Угол $\angle BCP$ образован пересечением хорд $PQ$ и $MB$ в точке $C$. По теореме об угле между пересекающимися хордами, его величина равна полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Эти дуги — $PM$ и $QB$. Следовательно:

$\angle BCP = \frac{1}{2} (\smile PM + \smile QB)$

Подставим это выражение в формулу для $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^\circ - \frac{1}{2} (\smile PM + \smile QB)$

Теперь найдем сумму противоположных углов $\angle DAB$ и $\angle BCD$:

$\angle DAB + \angle BCD = \frac{1}{2} (\smile MQ + \smile QB) + \left(180^\circ - \frac{1}{2} (\smile PM + \smile QB)\right)$

$\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ + \frac{1}{2}\smile MQ + \frac{1}{2}\smile QB - \frac{1}{2}\smile PM - \frac{1}{2}\smile QB$

$\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ + \frac{1}{2}(\smile MQ - \smile PM)$

По условию задачи, точка $M$ — середина дуги $PQ$. Это означает, что дуги $PM$ и $MQ$ равны: $\smile PM = \smile MQ$.

Подставим это равенство в полученное выражение для суммы углов:

$\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ + \frac{1}{2}(\smile PM - \smile PM) = 180^\circ + 0 = 180^\circ$

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $ABCD$ равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.