Номер 854, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

854. Прямые, проходящие через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в точке $H$ и пересекают описанную около треугольника окружность в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно (рис. 271). Докажите, что:

а) отрезки $HA_1$ и $HB_1$ разделяются сторонами треугольника пополам;

б) дуга $A_1B_1$ разделяется точкой $C$ пополам.

Рис. 271

а) Докажем, что отрезок $HA_1$ разделяется стороной $BC$ пополам. Доказательство для отрезка $HB_1$ и стороны $AC$ будет аналогичным.

Пусть $D$ — основание высоты, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. По условию, прямая $AA_1$ проходит через $A$ перпендикулярно $BC$, следовательно, $AD$ — это высота треугольника $ABC$, и $D$ лежит на отрезке $BC$. Нам необходимо доказать, что $D$ является серединой отрезка $HA_1$, то есть $HD = DA_1$.

Рассмотрим углы, вписанные в описанную окружность. Угол $\angle BA_1A$ опирается на дугу $AB$. Угол $\angle BCA$ (или $\angle C$) также опирается на дугу $AB$. Следовательно, по свойству вписанных углов, $\angle BA_1A = \angle BCA = \angle C$.

Теперь рассмотрим углы, связанные с ортоцентром $H$. Пусть $E$ — основание высоты из вершины $B$ на сторону $AC$. Точка $H$ — это точка пересечения высот $AD$ и $BE$. В четырехугольнике $CDHE$ углы $\angle CDH$ и $\angle CEH$ прямые, их сумма равна $180^\circ$, значит, четырехугольник $CDHE$ можно вписать в окружность. Тогда сумма двух других противоположных углов также равна $180^\circ$: $\angle DHE + \angle DCE = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle DHE = 180^\circ - \angle C$.

Углы $\angle BHD$ и $\angle DHE$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BHD = 180^\circ - \angle DHE = 180^\circ - (180^\circ - \angle C) = \angle C$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle HBA_1$. В этом треугольнике $BD$ является высотой, проведенной к стороне $HA_1$ (так как $AD \perp BC$). Мы показали, что $\angle BHD = \angle C$ и $\angle BA_1D$ (тот же угол, что и $\angle BA_1A$) $= \angle C$. Таким образом, в $\triangle HBA_1$ углы при основании $HA_1$ равны: $\angle BHA_1 = \angle BA_1H$.

Следовательно, $\triangle HBA_1$ является равнобедренным с основанием $HA_1$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Поскольку $BD$ — высота к основанию $HA_1$, то точка $D$ является серединой $HA_1$, то есть $HD = DA_1$.

Это означает, что сторона $BC$ делит отрезок $HA_1$ пополам. Аналогично доказывается, что сторона $AC$ делит пополам отрезок $HB_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что дуга $A_1B_1$ разделяется точкой $C$ пополам, нам нужно доказать, что дуга $A_1C$ равна дуге $CB_1$. Равенство дуг равносильно равенству вписанных углов, которые на них опираются.

Рассмотрим вписанные углы $\angle A_1BC$ и $\angle B_1BC$. Угол $\angle A_1BC$ опирается на дугу $A_1C$, а угол $\angle B_1BC$ опирается на дугу $B_1C$. Если мы докажем, что эти углы равны, то и дуги, на которые они опираются, будут равны.

Найдем величину угла $\angle A_1BC$. По свойству вписанных углов, $\angle A_1BC = \angle A_1AC$, так как они опираются на одну и ту же дугу $A_1C$. Прямая $AA_1$ содержит высоту из вершины $A$. Пусть $D$ — основание этой высоты на стороне $BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$) имеем: $\angle DAC = 90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - \angle C$. Так как угол $\angle A_1AC$ совпадает с $\angle DAC$, то $\angle A_1AC = 90^\circ - \angle C$. Следовательно, $\angle A_1BC = 90^\circ - \angle C$.

Теперь найдем величину угла $\angle B_1BC$. Прямая $BB_1$ содержит высоту из вершины $B$. Пусть $E$ — основание этой высоты на стороне $AC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BEC$ ($\angle BEC = 90^\circ$) имеем: $\angle EBC = 90^\circ - \angle BCE = 90^\circ - \angle C$. Угол $\angle B_1BC$ совпадает с углом $\angle EBC$, значит, $\angle B_1BC = 90^\circ - \angle C$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $\angle A_1BC = \angle B_1BC = 90^\circ - \angle C$.

Поскольку вписанные углы $\angle A_1BC$ и $\angle B_1BC$ равны, то и дуги, на которые они опираются, равны: дуга $A_1C$ = дуга $B_1C$. Это означает, что точка $C$ является серединой дуги $A_1B_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.