Номер 849, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

849. Две окружности касаются в точке $C$, $AB$ — их общая внешняя касательная, $A$ и $B$ — точки касания (рис. $269$). Найдите угол $ACB$.

Рис. $269$

Проведем через точку C, являющуюся точкой касания двух окружностей, их общую касательную прямую. Пусть эта прямая пересекает общую внешнюю касательную AB в точке M.

Рассмотрим первую окружность (на которой лежит точка A) и точку M. Отрезки MA и MC являются касательными, проведенными из одной точки M к этой окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $MA = MC$.

Так как в треугольнике AMC две стороны равны ($MA = MC$), этот треугольник является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAC = \angle MCA$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$, то есть $\angle MAC = \angle MCA = \alpha$.

Аналогично, рассмотрим вторую окружность (на которой лежит точка B) и точку M. Отрезки MB и MC являются касательными, проведенными из точки M к этой окружности. Следовательно, их длины также равны: $MB = MC$.

Поскольку в треугольнике BMC две стороны равны ($MB = MC$), этот треугольник является равнобедренным с основанием BC. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle MBC = \angle MCB$. Обозначим величину этих углов через $\beta$, то есть $\angle MBC = \angle MCB = \beta$.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$.

Выразим углы треугольника ABC через $\alpha$ и $\beta$: $\angle CAB = \angle MAC = \alpha$; $\angle CBA = \angle MBC = \beta$; $\angle ACB = \angle MCA + \angle MCB = \alpha + \beta$.

Подставим эти выражения в формулу суммы углов треугольника: $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Поскольку $\angle ACB = \alpha + \beta$, мы приходим к выводу, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.