Номер 848, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

848. Угол между касательными, проведенными через точку пересечения двух окружностей с радиусами $R$ и $r$, равен $90^\circ$ (рис. 268). Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ этих окружностей, учитывая, что $AB$ — их общая касательная.

Рис. 268

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $r$ соответственно. Пусть $C$ — одна из точек их пересечения. Через точку $C$ проведены касательные к обеим окружностям.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $O_1C$ перпендикулярен касательной к первой окружности в точке $C$, а радиус $O_2C$ перпендикулярен касательной ко второй окружности в той же точке $C$.

По условию задачи, угол между касательными равен 90°. Так как радиусы $O_1C$ и $O_2C$ перпендикулярны этим касательным, угол между самими радиусами $\angle O_1CO_2$ также равен 90°.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным с катетами $O_1C=R$ и $O_2C=r$. По теореме Пифагора, квадрат расстояния между центрами окружностей $O_1O_2$ равен: $(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (O_2C)^2 = R^2 + r^2$.

Теперь рассмотрим общую касательную $AB$, где $A$ и $B$ — точки касания. Радиусы $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны касательной $AB$, следовательно, $O_1A \parallel O_2B$. Фигура $ABO_2O_1$ — прямоугольная трапеция с основаниями $O_1A=R$ и $O_2B=r$.

Для нахождения длины отрезка $AB$ (высоты трапеции), проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке $H$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle O_1HO_2$, где:

• гипотенуза $O_1O_2$ — расстояние между центрами;
• катет $O_2H = AB$;
• катет $O_1H = O_1A - AH = O_1A - O_2B = R - r$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle O_1HO_2$: $(O_1O_2)^2 = (O_1H)^2 + (O_2H)^2$. Подставив известные значения, получим: $(O_1O_2)^2 = (R-r)^2 + (AB)^2$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $(O_1O_2)^2$: $R^2 + r^2 = (R-r)^2 + (AB)^2$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $AB$: $R^2 + r^2 = R^2 - 2Rr + r^2 + (AB)^2$. $0 = -2Rr + (AB)^2$. $(AB)^2 = 2Rr$. $AB = \sqrt{2Rr}$.

Ответ: $AB = \sqrt{2Rr}$.