Номер 850, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

850. Окружности с радиусами 2 см и 6 см касаются внутренним образом. Третья окружность касается этих окружностей и прямой, соединяющей их центры. Найдите радиус третьей окружности.

Обозначим радиусы данных окружностей как $R = 6$ см и $r_1 = 2$ см. Пусть искомый радиус третьей окружности равен $r$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр большей окружности ($O$) в начало координат $(0,0)$. Прямую, соединяющую центры первых двух окружностей, примем за ось абсцисс (ось $Ox$).

Уравнение большей окружности будет иметь вид: $x^2 + y^2 = R^2 = 6^2 = 36$.

Поскольку окружности касаются внутренним образом, их центры и точка касания лежат на одной прямой. Расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = R - r_1 = 6 - 2 = 4$ см. Следовательно, центр меньшей окружности ($O_1$) имеет координаты $(4,0)$. Ее уравнение: $(x-4)^2 + y^2 = r_1^2 = 2^2 = 4$.

Пусть центр третьей окружности ($O_2$) имеет координаты $(x_2, y_2)$. Ее радиус равен $r$. По условию, третья окружность касается прямой, соединяющей центры $O$ и $O_1$, то есть оси $Ox$. Это означает, что расстояние от центра $O_2$ до оси $Ox$ равно радиусу $r$. Таким образом, $|y_2| = r$. Без ограничения общности можно считать, что окружность расположена в верхней полуплоскости, тогда $y_2 = r$. Координаты центра $O_2$ — $(x_2, r)$.

Теперь запишем условия касания третьей окружности с двумя данными.

1. Третья окружность касается большей окружности. Так как третья окружность касается оси $Ox$, проходящей через центр большей окружности, касание может быть только внутренним. Расстояние между их центрами $O(0,0)$ и $O_2(x_2, r)$ равно разности их радиусов:

$OO_2 = R - r = 6 - r$.

По формуле расстояния между двумя точками:

$\sqrt{(x_2-0)^2 + (r-0)^2} = 6 - r$

$\sqrt{x_2^2 + r^2} = 6 - r$

Возводя обе части в квадрат, получаем:

$x_2^2 + r^2 = (6-r)^2 = 36 - 12r + r^2$

$x_2^2 = 36 - 12r$ (1)

2. Третья окружность касается меньшей окружности. Это касание является внешним. Расстояние между их центрами $O_1(4,0)$ и $O_2(x_2, r)$ равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = r_1 + r = 2 + r$.

По формуле расстояния между двумя точками:

$\sqrt{(x_2-4)^2 + (r-0)^2} = 2 + r$

Возводя обе части в квадрат, получаем:

$(x_2-4)^2 + r^2 = (2+r)^2 = 4 + 4r + r^2$

$x_2^2 - 8x_2 + 16 = 4 + 4r$ (2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $x_2^2$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$(36 - 12r) - 8x_2 + 16 = 4 + 4r$

$52 - 12r - 8x_2 = 4 + 4r$

$48 - 16r = 8x_2$

Разделив на 8, найдем $x_2$:

$x_2 = 6 - 2r$

Подставим это выражение для $x_2$ обратно в уравнение (1):

$(6 - 2r)^2 = 36 - 12r$

$36 - 24r + 4r^2 = 36 - 12r$

$4r^2 - 12r = 0$

$4r(r - 3) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $r = 0$ и $r = 3$. Решение $r = 0$ не имеет физического смысла, так как радиус окружности должен быть положительным. Следовательно, искомый радиус равен 3 см.

Ответ: 3 см.