Номер 843, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

843. Окружность проходит через концы основания равнобедренного треугольника и касается его боковых сторон длиной 13 см. Найдите радиус этой окружности, учитывая, что высота треугольника, проведенная к его основанию, равна 5 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, боковыми сторонами $AB = AC = 13$ см и высотой $AH = 5$ см, проведенной к основанию. Окружность с центром $O$ и искомым радиусом $R$ проходит через точки $B$ и $C$ и касается сторон $AB$ и $AC$.

1. Нахождение длины основания треугольника

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому $H$ — середина $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$, где $AH$ и $BH$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза. По теореме Пифагора найдем половину основания $BH$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$13^2 = 5^2 + BH^2$
$169 = 25 + BH^2$
$BH^2 = 169 - 25 = 144$
$BH = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Определение положения центра окружности и вывод соотношений

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, а окружность проходит через концы основания $B$ и $C$ и касается боковых сторон $AB$ и $AC$, то из соображений симметрии центр окружности $O$ должен лежать на оси симметрии треугольника, то есть на прямой, содержащей высоту $AH$.
Пусть $D$ — точка касания окружности со стороной $AB$. Тогда радиус $OD$ перпендикулярен касательной $AB$ ($OD \perp AB$). Это означает, что треугольник $ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADO$ (прямой угол $D$) и $\triangle AHB$ (прямой угол $H$). Они подобны по общему острому углу $\angle BAH$. Из подобия следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{AO}{AB} = \frac{OD}{BH}$
Здесь $OD = R$ (радиус окружности), $AB = 13$ см, $BH = 12$ см. Подставим известные значения:
$\frac{AO}{13} = \frac{R}{12}$
Отсюда выразим длину отрезка $AO$:
$AO = \frac{13}{12}R$

3. Составление и решение уравнения для радиуса

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (так как $O$ лежит на прямой $AH$, а $AH \perp BC$). Его катеты $OH$ и $BH$, гипотенуза $OB$. Так как точка $B$ лежит на окружности, то $OB = R$. По теореме Пифагора:
$OB^2 = OH^2 + BH^2$
$R^2 = OH^2 + 12^2$
Точки $A, H, O$ лежат на одной прямой. Длину отрезка $OH$ найдем из соотношения $AO = AH + OH$. Точка $H$ должна лежать между $A$ и $O$, так как $AO = \frac{13}{12}R$, а радиус $R$ не может быть меньше половины хорды, т.е. $R \ge BH = 12$. Следовательно, $AO \ge \frac{13}{12} \cdot 12 = 13$ см, что больше $AH = 5$ см.
$OH = AO - AH = \frac{13}{12}R - 5$
Подставим выражение для $OH$ в теорему Пифагора:
$R^2 = \left(\frac{13}{12}R - 5\right)^2 + 144$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$R^2 = \frac{169}{144}R^2 - 2 \cdot \frac{13}{12}R \cdot 5 + 25 + 144$
$R^2 = \frac{169}{144}R^2 - \frac{65}{6}R + 169$
Домножим уравнение на 144, чтобы избавиться от знаменателей:
$144R^2 = 169R^2 - 24 \cdot 65R + 169 \cdot 144$
$144R^2 = 169R^2 - 1560R + 24336$
$25R^2 - 1560R + 24336 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-1560)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 24336 = 2433600 - 100 \cdot 24336 = 2433600 - 2433600 = 0$
Так как $D=0$, уравнение имеет единственный корень:
$R = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1560)}{2 \cdot 25} = \frac{1560}{50} = \frac{156}{5} = 31,2$ см.

Ответ: 31,2 см.