Номер 846, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

846. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона — 41 см. Найдите радиусы вписанного и описанного кругов.

Для решения задачи сначала найдем высоту, площадь и полупериметр данного равнобедренного треугольника.

Обозначим боковые стороны как $b = 41$ см, а основание как $a = 18$ см.

1. Нахождение высоты треугольника.

Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка по $\frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $b$ (гипотенуза) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$

$h^2 + 9^2 = 41^2$

$h^2 = 1681 - 81 = 1600$

$h = \sqrt{1600} = 40$ см.

2. Нахождение площади и полупериметра.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 40 = 9 \cdot 40 = 360$ см².

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех сторон:

$P = a + b + b = 18 + 41 + 41 = 100$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{100}{2} = 50$ см.

Теперь мы можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

Радиус вписанного круга

Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

$r = \frac{360}{50} = \frac{36}{5} = 7,2$ см.

Ответ: радиус вписанного круга равен 7,2 см.

Радиус описанного круга

Радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника.

В нашем случае стороны — это $a, b, b$:

$R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4S} = \frac{18 \cdot 41 \cdot 41}{4 \cdot 360} = \frac{18 \cdot 1681}{1440}$

Сократим дробь на 18:

$R = \frac{1681}{80} = 21,0125$ см.

Ответ: радиус описанного круга равен 21,0125 см.