Номер 852, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

852. В круговой сектор с центральным углом $120^\circ$ вписана окружность с радиусом $r$. Найдите радиус сектора.

Пусть $R$ — искомый радиус сектора, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. Обозначим вершину сектора как точку $O$, а точки на дуге — $A$ и $B$. Тогда центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$.

Центр вписанной окружности, назовем его $C$, должен быть равноудален от сторон угла $\angle AOB$, следовательно, он лежит на биссектрисе этого угла. Биссектриса делит угол $\angle AOB$ на два равных угла по $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Проведем из центра $C$ вписанной окружности перпендикуляр $CD$ к радиусу сектора $OA$. Точка $D$ будет точкой касания, а длина отрезка $CD$ будет равна радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$. В нем:

• $\angle ODC = 90^\circ$ (так как $CD$ — радиус, проведенный в точку касания).
• $\angle DOC = 60^\circ$ (половина центрального угла сектора).
• Катет $CD = r$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике можем найти длину гипотенузы $OC$, которая является расстоянием от вершины сектора до центра вписанной окружности:

$\sin(\angle DOC) = \frac{CD}{OC}$

$\sin(60^\circ) = \frac{r}{OC}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{OC} \implies OC = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Вписанная окружность также касается дуги сектора. Точка касания лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Радиус сектора $R$ складывается из расстояния от вершины сектора до центра вписанной окружности $OC$ и радиуса вписанной окружности $r$.

$R = OC + r$

Подставим найденное выражение для $OC$:

$R = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r = r\left(\frac{2}{\sqrt{3}} + 1\right) = r\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = r\frac{(2 + \sqrt{3})\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = r\frac{2\sqrt{3} + 3}{3}$

Ответ: $R = \frac{r(3 + 2\sqrt{3})}{3}$.