Номер 858, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

858. Прямые, проходящие через точку $K$, касаются окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$, $BC$ — диаметр. Докажите, что прямые $KO$ и $AC$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых KO и AC мы воспользуемся свойством прямых, перпендикулярных третьей прямой. Мы покажем, что и KO, и AC перпендикулярны прямой AB.

1. Рассмотрим прямую KO и отрезок AB.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки K, длины отрезков касательных равны: $KA = KB$. Следовательно, точка K равноудалена от точек A и B.

Центр окружности O равноудален от любых двух точек на окружности, в частности, от точек касания A и B, так как OA и OB — радиусы: $OA = OB$.

Поскольку обе точки K и O равноудалены от концов отрезка AB, прямая KO является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Из этого следует, что $KO \perp AB$.

2. Рассмотрим прямую AC и отрезок AB.

По условию, BC — диаметр окружности, а точка A лежит на этой окружности. Треугольник ABC вписан в окружность.

Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Угол $\angle BAC$ опирается на диаметр BC, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.

Раз $\angle BAC = 90^\circ$, то прямая AC перпендикулярна прямой AB, то есть $AC \perp AB$.

3. Заключение.

Мы установили, что прямая $KO \perp AB$ и прямая $AC \perp AB$.

Согласно теореме, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны.

Следовательно, $KO \parallel AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.