Номер 863, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

863. Через точки $A$ и $B$ проведены касательные $AM$ и $BN$ к окружности $\omega$. Докажите, что:

а) прямая $AB$ касается окружности $\omega$ тогда и только тогда, когда $|AM - BN| = AB$ или $AM + BN = AB$;

б) прямая $AB$ пересекает окружность $\omega$ тогда и только тогда, когда $|AM - BN| > AB$ или $AM + BN < AB$;

в) прямая $AB$ не имеет общих точек с окружностью $\omega$ тогда и только тогда, когда $|AM - BN| < AB < AM + BN$.

Пусть $O$ — центр окружности $\omega$, а $r$ — её радиус. Расстояние от точки $A$ до центра $O$ связано с длиной касательной $AM$ соотношением $OA^2 = AM^2 + r^2$. Аналогично, для точки $B$ имеем $OB^2 = BN^2 + r^2$.

Взаимное расположение прямой $AB$ и окружности $\omega$ определяется соотношением между расстоянием $h$ от центра $O$ до прямой $AB$ и радиусом $r$:

• Прямая $AB$ касается окружности $\omega$, если $h=r$.
• Прямая $AB$ пересекает окружность $\omega$, если $h<r$.
• Прямая $AB$ не имеет общих точек с окружностью $\omega$, если $h>r$.

Это эквивалентно анализу знака выражения $h^2-r^2$.

Выразим $h^2$ через длины $AM$, $BN$ и $AB$. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Квадрат его площади $S$ можно найти через длины его сторон $OA$, $OB$, $AB$ (следствие формулы Герона):$16S^2 = 4 OA^2 OB^2 - (OA^2+OB^2-AB^2)^2$. Поскольку $S = \frac{1}{2} AB \cdot h$, то $4h^2 AB^2 = 16S^2$. Таким образом:

$4h^2 AB^2 = 4 OA^2 OB^2 - (OA^2+OB^2-AB^2)^2$

Подставим выражения для $OA^2$ и $OB^2$:

$4h^2 AB^2 = 4(AM^2+r^2)(BN^2+r^2) - (AM^2+r^2+BN^2+r^2-AB^2)^2$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, получим:

$4h^2 AB^2 = 4AM^2 BN^2 + 4r^2 AB^2 - (AM^2+BN^2-AB^2)^2$

Перенесем слагаемое с $r^2$ в левую часть:

$4(h^2-r^2)AB^2 = 4AM^2 BN^2 - (AM^2+BN^2-AB^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ к правой части:

$4(h^2-r^2)AB^2 = (2AM \cdot BN - (AM^2+BN^2-AB^2))(2AM \cdot BN + (AM^2+BN^2-AB^2))$

$4(h^2-r^2)AB^2 = (AB^2 - (AM^2-2AM \cdot BN+BN^2))((AM^2+2AM \cdot BN+BN^2) - AB^2)$

$4(h^2-r^2)AB^2 = (AB^2 - (AM-BN)^2)((AM+BN)^2 - AB^2)$

Знак разности $h^2-r^2$ совпадает со знаком правой части. Разложим ее дальше на множители:

$(AB - |AM-BN|)(AB + |AM-BN|)(AM+BN - AB)(AM+BN+AB)$

Множители $(AB + |AM-BN|)$ и $(AM+BN+AB)$ всегда положительны как суммы длин отрезков. Следовательно, знак всего выражения определяется знаком произведения двух других множителей: $(AM+BN - AB)(AB - |AM-BN|)$.

Теперь мы можем проанализировать каждый случай.

а) прямая AB касается окружности ω тогда и только тогда, когда $|AM-BN|=AB$ или $AM+BN=AB$

Прямая $AB$ касается окружности $\omega$ тогда и только тогда, когда $h=r$, что эквивалентно $h^2-r^2=0$. Это условие выполняется, когда выведенное выше выражение равно нулю:

$(AM+BN - AB)(AB - |AM-BN|) = 0$

Это равенство истинно, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$AM+BN - AB = 0 \implies AM+BN=AB$,

или

$AB - |AM-BN| = 0 \implies |AM-BN|=AB$.

Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Прямая AB касается окружности ω тогда и только тогда, когда $|AM - BN| = AB$ или $AM + BN = AB$.

б) прямая AB пересекает окружность ω тогда и только тогда, когда $|AM-BN|>AB$ или $AM+BN<AB$

Прямая $AB$ пересекает окружность $\omega$ тогда и только тогда, когда $h<r$, что эквивалентно $h^2-r^2<0$. Это условие выполняется, когда:

$(AM+BN - AB)(AB - |AM-BN|) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Рассмотрим два возможных случая:

1) $AM+BN - AB > 0$ и $AB - |AM-BN| < 0$. Это равносильно системе $AM+BN > AB$ и $AB < |AM-BN|$. Второе неравенство $|AM-BN| > AB$ является более сильным, так как из него по неравенству треугольника следует $AM+BN \geq |AM-BN| > AB$. Таким образом, этот случай сводится к условию $|AM-BN| > AB$.

2) $AM+BN - AB < 0$ и $AB - |AM-BN| > 0$. Это равносильно системе $AM+BN < AB$ и $AB > |AM-BN|$. Первое неравенство $AM+BN < AB$ является более сильным, так как из него следует $|AM-BN| \leq AM+BN < AB$. Таким образом, этот случай сводится к условию $AM+BN < AB$.

Объединяя оба случая, получаем, что прямая $AB$ пересекает окружность тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух полученных условий.
Ответ: Прямая AB пересекает окружность ω тогда и только тогда, когда $|AM - BN| > AB$ или $AM + BN < AB$.

в) прямая AB не имеет общих точек с окружностью ω тогда и только тогда, когда $|AM-BN|<AB<AM+BN$

Прямая $AB$ не имеет общих точек с окружностью $\omega$ тогда и только тогда, когда $h>r$, что эквивалентно $h^2-r^2>0$. Это условие выполняется, когда:

$(AM+BN - AB)(AB - |AM-BN|) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда они имеют одинаковые знаки. Сумма этих множителей равна $(AM+BN - AB) + (AB - |AM-BN|) = AM+BN - |AM-BN|$, что всегда неотрицательно ($2BN$, если $AM \ge BN$, и $2AM$, если $AM < BN$). Два числа с неотрицательной суммой могут быть оба положительными, но не могут быть оба отрицательными. Следовательно, оба множителя должны быть положительными:

$AM+BN - AB > 0 \implies AM+BN > AB$

и

$AB - |AM-BN| > 0 \implies |AM-BN| < AB$

Объединяя эти два неравенства в одно двойное, получаем требуемое условие.
Ответ: Прямая AB не имеет общих точек с окружностью ω тогда и только тогда, когда $|AM - BN| < AB < AM + BN$.