Номер 862, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

862. Через данную точку $P$ окружности $\omega_1$ и данную точку $Q$ прямой $l$ проведены окружности $\omega_2$ и $\omega_3$, которые пересекли окружность $\omega_1$ в точках $T_2$ и $T_3$, а прямую $l$ — в точках $S_2$ и $S_3$ соответственно (рис. 273). Докажите, что:

а) прямые $T_2S_2$ и $T_3S_3$ пересекаются в точке $A$ окружности $\omega_1$;

б) расположение точки $A$ не зависит от того, как проведены окружности $\omega_2$ и $\omega_3$.

Рис. 273

а) прямые T₂S₂ и T₃S₃ пересекаются в точке A окружности ω₁;

Для доказательства воспользуемся методом инверсии. Применим инверсию с центром в точке $P$ и произвольным радиусом. Образы объектов будем обозначать штрихом.

1. Окружность $\omega_1$, проходящая через центр инверсии $P$, преобразуется в прямую $\omega'_1$. Точки $T_2$ и $T_3$, лежащие на $\omega_1$, преобразуются в точки $T'_2$ и $T'_3$, лежащие на прямой $\omega'_1$.
2. Прямая $l$, не проходящая через $P$, преобразуется в окружность $l'$, проходящую через центр инверсии $P$. Точки $Q, S_2, S_3$ на прямой $l$ преобразуются в точки $Q', S'_2, S'_3$, лежащие на окружности $l'$. Таким образом, точки $P, Q', S'_2, S'_3$ лежат на одной окружности $l'$.
3. Окружность $\omega_2$, проходящая через $P$, преобразуется в прямую $\omega'_2$. Точки $Q, T_2, S_2$ на $\omega_2$ преобразуются в точки $Q', T'_2, S'_2$ на прямой $\omega'_2$. Следовательно, точки $Q', T'_2, S'_2$ коллинеарны.
4. Аналогично, окружность $\omega_3$ преобразуется в прямую $\omega'_3$, и точки $Q', T'_3, S'_3$ коллинеарны.
5. Прямая $T_2S_2$ преобразуется в окружность $\gamma_2$, проходящую через точки $P, T'_2, S'_2$.
6. Прямая $T_3S_3$ преобразуется в окружность $\gamma_3$, проходящую через точки $P, T'_3, S'_3$.

Пусть $A$ — точка пересечения прямых $T_2S_2$ и $T_3S_3$. Её образ $A'$ является второй точкой пересечения окружностей $\gamma_2$ и $\gamma_3$ (первая точка — $P$). Нам нужно доказать, что точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$. Это эквивалентно тому, что её образ $A'$ лежит на прямой $\omega'_1$.

Будем использовать ориентированные углы между прямыми (по модулю $\pi$).

Поскольку точки $P, A', T'_2, S'_2$ лежат на окружности $\gamma_2$, имеем равенство углов:

$(\vec{A'P}, \vec{A'T'_2}) = (\vec{S'_2P}, \vec{S'_2T'_2})$

Так как точки $Q', T'_2, S'_2$ лежат на одной прямой $\omega'_2$, то $(\vec{S'_2P}, \vec{S'_2T'_2}) = (\vec{S'_2P}, \vec{S'_2Q'})$. Следовательно:

$(\vec{A'P}, \vec{A'T'_2}) = (\vec{S'_2P}, \vec{S'_2Q'})$ (1)

Аналогично, из того, что точки $P, A', T'_3, S'_3$ лежат на окружности $\gamma_3$, и точки $Q', T'_3, S'_3$ коллинеарны, получаем:

$(\vec{A'P}, \vec{A'T'_3}) = (\vec{S'_3P}, \vec{S'_3T'_3}) = (\vec{S'_3P}, \vec{S'_3Q'})$ (2)

Так как точки $P, Q', S'_2, S'_3$ лежат на окружности $l'$, то по свойству вписанных углов:

$(\vec{S'_2P}, \vec{S'_2Q'}) = (\vec{S'_3P}, \vec{S'_3Q'})$ (3)

Из равенств (1), (2) и (3) следует, что:

$(\vec{A'P}, \vec{A'T'_2}) = (\vec{A'P}, \vec{A'T'_3})$

Это равенство означает, что прямые $A'T'_2$ и $A'T'_3$ образуют одинаковый угол с прямой $A'P$. Поскольку эти прямые имеют общую точку $A'$, они совпадают. Таким образом, точки $A', T'_2, T'_3$ лежат на одной прямой.

Так как точки $T'_2$ и $T'_3$ лежат на прямой $\omega'_1$, то и точка $A'$ лежит на прямой $\omega'_1$. Следовательно, прообраз точки $A'$, точка $A$, лежит на окружности $\omega_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) расположение точки A не зависит от того, как проведены окружности ω₂ и ω₃.

Докажем, что положение точки $A$ не зависит от выбора окружностей $\omega_2$ и $\omega_3$. Для этого достаточно доказать, что положение точки $A'$ в преобразованной инверсией плоскости является фиксированным, то есть не зависит от выбора $\omega_2$ и $\omega_3$.

Как мы установили в пункте а), точка $A'$ лежит на прямой $\omega'_1$. Прямая $\omega'_1$ (образ окружности $\omega_1$) является фиксированной, так как окружность $\omega_1$ и центр инверсии $P$ заданы.

Также из доказательства пункта а) мы имеем равенство $(\vec{A'P}, \vec{A'T'_2}) = (\vec{S'_2P}, \vec{S'_2Q'})$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Рассмотрим угол $\alpha = (\vec{S'_2P}, \vec{S'_2Q'})$. Точки $P, Q', S'_2$ лежат на окружности $l'$, которая является образом прямой $l$ и также является фиксированной. Точки $P$ и $Q'$ (образы заданных точек $P$ и $Q$) также фиксированы. Угол $(\vec{S'_2P}, \vec{S'_2Q'})$ — это вписанный в окружность $l'$ угол, опирающийся на фиксированную хорду $PQ'$. По теореме о вписанном угле, величина этого угла (с учётом ориентации) постоянна для любой точки $S'_2$ на одной из дуг окружности $l'$, стягиваемой хордой $PQ'$. Таким образом, угол $\alpha$ является константой, не зависящей от выбора окружности $\omega_2$ (которая определяет положение точек $T'_2$ и $S'_2$).

Итак, точка $A'$ должна удовлетворять двум условиям:

1. $A'$ лежит на фиксированной прямой $\omega'_1$.
2. Угол между прямой $PA'$ и прямой $\omega'_1$ (на которой лежит $A'$) равен постоянному углу $\alpha$.

Это означает, что прямая $PA'$ имеет фиксированное направление. Следовательно, точка $A'$ является точкой пересечения двух фиксированных прямых: $\omega'_1$ и прямой, проходящей через фиксированную точку $P$ под фиксированным углом $\alpha$ к прямой $\omega'_1$. Такая точка единственна.

Положение точки $A'$ не зависит от выбора окружностей $\omega_2$ и $\omega_3$. Следовательно, положение исходной точки $A$, которая является прообразом $A'$ при инверсии, также не зависит от выбора окружностей $\omega_2$ и $\omega_3$.

Ответ: Утверждение доказано.